如图.已知抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(1.0)和点B.与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式．(2)如图1.已知点H的坐标为.设点G为y轴左侧抛物线上的一个动点.试猜想:是否存在这样的点G.使△GAH和△GCH的面积相等?如果存在.请举例验证你的猜想,如果不存在.说明理由．(3)如图2.过x轴上点E作ED⊥AB交抛物线于点D①在y轴上找一点F.使△EDF的周长最小.求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

10．如图，已知抛物线y=ax²+2x+c与x轴交于A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，-3）．

（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，已知点H的坐标为（0，-1），设点G为y轴左侧抛物线上的一个动点，试猜想：是否存在这样的点G，使△GAH和△GCH的面积相等？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，说明理由．
（3）如图2，过x轴上点E（-2，0）作ED⊥AB交抛物线于点D
①在y轴上找一点F，使△EDF的周长最小，求出此时点F的坐标；
②在①的条件下，若线段BD上有一点P满足∠EPF=∠FDP，求线段PF的长．

分析（1）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）分类讨论：当GH∥AC时，如图1（a），点A，点C到GH的距离相等，则S_△GHC=S_△GHA，先利用待定系数法求出AC的解析式为y=3x-3，再利用两直线平行问题求出GH的解析式为y=3x-1，然后通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+2x-3}\\{y=3x-1}\end{array}\right.$得到G（-1，-4）；当GH与AC不平行时，如图1（b），先确定AC的中点为M（$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$），由于点A，C到直线GH的距离相等，则GH过点M时，S_△GHC=S_△GHA，利用待定系数法求出直线HM的解析式为y=-x-1，再通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+2x-3}\\{y=-x-1}\end{array}\right.$得G（$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$）；
（3）①如图2，取点E关于y轴的对称点N，则N（2，0），连结DN交y轴于F，则FE=FN，利用两点之间线段最短判断此时△EDF的周长最小，接着确定D（-2，-3），由于OF∥DE，则F点为DN的中点，所以F（0，-$\frac{3}{2}$）；
②根据三角形外角性质得∠BPE+∠EPF=∠FDP+∠PFD，而∠EPF=∠FDP，则∠BPE=∠PFD，再计算出DN=BN=5，得到∠BND=∠NDB，于是可判断△PBE∽△FDP，利用相似比可得PB•DP=$\frac{5}{2}$，加上BP+DP=BD=$\sqrt{10}$，利用解方程组可得PB=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，所以点P为BD的中点，然后判断PF为△DBN的中位线，再利用三角形中位线性质求解．

解答解：（1）把A（1，0）、C（0，-3）代入y=ax²+2x+c得$\left\{\begin{array}{l}{1=a+2+c}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-3}\end{array}\right.$，．
所以抛物线解析式为y=x²+2x-3；
（2）存在．
当GH∥AC时，如图1（a），点A，点C到GH的距离相等，
∴S_△GHC=S_△GHA，
易得AC的解析式为y=3x-3，则HG的解析式为y=3x+b，
把H（0，-1）代入得b=-1，
∴GH的解析式为y=3x-1，
可得方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+2x-3}\\{y=3x-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=5}\end{array}\right.$，
∴G（-1，-4）；
当GH与AC不平行时，如图1（b）AC的中点为M（$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
∵点A，C到直线GH的距离相等，
∴GH过点M时，S_△GHC=S_△GHA，
设直线HM的解析式为y=px+q，
把H（0，-1），M（$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$）代入得$\left\{\begin{array}{l}{q=-1}\\{\frac{1}{2}p+q=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=-1}\\{q=-1}\end{array}\right.$，
∴直线HM的解析式为y=-x-1，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+2x-3}\\{y=-x-1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-3+\sqrt{17}}{2}}\\{y=\frac{1-\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}}\\{y=\frac{1+\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，
∴G（$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$）；
综上所述，满足条件的P点坐标为（-1，-4），（$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$）；
（3）①如图2，取点E关于y轴的对称点N，则N（2，0），
连结DN交y轴于F，则FE=FN，
∴FE+FD=FN+DF=DN，
∴此时△EDF的周长最小，
∵E（-2，0），DE⊥x轴，
∴D的横坐标为-2，
∴D（-2，-3），
∵OF∥DE，
∴F点为DN的中点，
∴F（0，-$\frac{3}{2}$）；
②∵∠BPF=∠BDF+∠PFD，
即∠BPE+∠EPF=∠FDP+∠PFD，
而∠EPF=∠FDP，
∴∠BPE=∠PFD，
∵DN=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，BN=2+3=5，
∴NB=ND，
∴∠BND=∠NDB，
∴△PBE∽△FDP，
∴$\frac{PB}{FD}$=$\frac{BE}{DP}$，即$\frac{PB}{\frac{5}{2}}$=$\frac{1}{DP}$，
即PB•DP=$\frac{5}{2}$，
∵BP+DP=BD=$\sqrt{（-2+3）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴PB（$\sqrt{10}$-PB）=$\frac{5}{2}$，
整理得PB²-$\sqrt{10}$PB+$\frac{5}{2}$=0，解得PB=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴点P为BD的中点，
∵F点为DN的中点，
∴PF为△DBN的中位线，
∴PF=$\frac{1}{2}$BN=$\frac{5}{2}$．

点评本题考查了二次函数的综合题：会利用待定系数法求二次函数的解析式，会求直线与二次函数的交点坐标和三角形面积．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．

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