Question

【题目】如图，在ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D是AB边上一点，连接CD，以CD为边作等边CDE．

（1）如图1，若∠CDB＝45°，AB＝6，求等边CDE的边长；

（2）如图2，点D在AB边上移动过程中，连接BE，取BE的中点F，连接CF，DF，过点D作DG⊥AC于点G．

①求证：CF⊥DF；

②如图3，将CFD沿CF翻折得CF，连接B，直接写出的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①证明见解析；②．

【解析】

（1）过点C作CH⊥AB于点 H，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得∠A＝∠B＝30°，AH＝BH＝3，CH＝＝，由∠CDB＝45°，可得CD＝CH＝；

（2）①延长BC到N，使CN＝BC，由“SAS”可证CEN≌CDA，可得EN＝AD，∠N＝∠A＝30°，由三角形中位线定理可得CF∥EN，CF＝EN，可得∠BCF＝∠N＝30°，可证DG＝CF，DG∥CF，即可证四边形CFDG是矩形，可得结论；

②由“SAS”可证EFD≌BF，可得B＝DE，则当CD取最小值时，有最小值，即可求解．

解：（1）如图1，过点C作CH⊥AB于点 H，

∵AC＝BC，∠ACB＝120°，CH⊥AB，

∴∠A＝∠B＝30°，AH＝BH＝3，

在RtBCH中，tan∠B＝，

∴tan30°＝

∴CH＝＝，

∵∠CDH＝45°，CH⊥AB，

∴∠CDH＝∠DCH＝45°，

∴DH＝CH＝，CD＝CH＝；

（2）①如图2，延长BC到N，使CN＝BC，

∵AC＝BC，∠ACB＝120°，

∴∠A＝∠ABC＝30°，∠NCA＝60°，

∵ECD是等边三角形，

∴EC＝CD，∠ECD＝60°，

∴∠NCA＝∠ECD，

∴∠NCE＝∠DCA，

又∵CE＝CD，AC＝BC＝CN，

∴CEN≌CDA(SAS)，

∴EN＝AD，∠N＝∠A＝30°，

∵BC＝CN，BF＝EF，

∴CF∥EN，CF＝EN，

∴∠BCF＝∠N＝30°，

∴∠ACF＝∠ACB﹣∠BCF＝90°，

又∵DG⊥AC，

∴CF∥DG，

∵∠A＝30°，DG⊥AC，

∴DG＝AD，

∴DG＝CF，

∴四边形CFDG是平行四边形，

又∵∠ACF＝90°，

∴四边形CFDG是矩形，

∴∠CFD＝90°

∴CF⊥DF；

②如图3，连接B，

∵将CFD沿CF翻折得CF，

∴CD＝C，DF＝F，∠CFD＝∠CF＝90°，

又∵EF＝BF，∠EFD＝∠BF，

∴EFD≌BF(SAS)，

∴B＝DE，

∴B＝CD，

∵当B取最小值时，有最小值，

∴当CD取最小值时，有最小值，

∵当CD⊥AB时，CD有最小值，

∴AD＝CD，AB＝2AD＝2CD，

∴最小值＝．