Question

已知，如图，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，

（1）求证：DE=DF．

（2）连接BC，求证：线段AD垂直平分线段BC．

Answer 1

【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．

【专题】证明题．

【分析】（1）连接AD，易证△ACD≌△ABD，根据全等三角形对应角相等的性质可得∠EAD=∠FAD，根据角平分线的性质，即可解答；

（2）由△ACD≌△ABD（已证），得到DC=DB，所以点D在线段BC的垂直平分线上．又AB=AC，所以点A在线段BC的垂直平分线上，即可解答．

【解答】解：（1）如图，连接AD．

在△ACD和△ABD中，

∴△ACD≌△ABD（SSS）．

∴∠FAD=∠EAD，

即AD平分∠EAF．

又∵DE⊥AE，DF⊥AF，

∴DE=DF．

（2）∵△ACD≌△ABD（已证）．

∴DC=DB，

∴点D在线段BC的垂直平分线上．

又∵AB=AC

∴点A在线段BC的垂直平分线上．

∵两点确定一条直线，

∴AD垂直平分BC．

【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质、垂直平分线的性质，解决本题的关键是证明△ACD≌△ABD．