Question

已知α、β是方程x²-2x-1=0的两个实数根，求3α²-β²-8α+1的值（用两种方法解答）

Answer 1

考点：根与系数的关系,一元二次方程的解

专题：计算题

分析：解法一：根据一元二次方程的解的定义和根与系数的关系得到α²-2α-1=0，β²-2β-1=0，α+β=2，α²=2α+1，β²=2β+1，然后把原式降次后利用整体代入的方法计算；
解法二：先根据根与系数的关系得到β=2-α，消去β，则3α²-β²-8α+1=2（α²-2α）-3，然后根据一元二次方程的解的定义求解．

解答：解：解法（一）∵α、β是方程x²-2x-1=0的两个实数根，
∴α²-2α-1=0，β²-2β-1=0，α+β=2，
∴α²=2α+1，β²=2β+1，
∴3α²-β²-8α+1=3（2α+1）-（2β+1）-8α+1
=-2（α+β）+3
=-2×2+3
=-1；
解法（二）根据题意得α+β=2，即β=2-α，
所以3α²-β²-8α+1=3α²-（2-α）²-8α+1
=2（α²-2α）-3，
而α是方程x²-2x-1=0的实数根，
则α²-2α-1=0，即α²-2α=1，
所以3α²-β²-8α+1=2×1-3=-1．

点评：本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程的解．