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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+cx轴交于A(﹣10B30)两点,与y轴交于点C

1)求抛物线y=ax2+2x+c的解析式:;

2)点D为抛物线上对称轴右侧、x轴上方一点,DEx轴于点EDFAC交抛物线对称轴于点F,求DE+DF的最大值;

3)①在拋物线上是否存在点P,使以点APC为顶点,AC为直角边的三角形是直角三角形?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;

②点Q在抛物线对称轴上,其纵坐标为t,请直接写出△ACQ为锐角三角形时t的取值范围.

【答案】1y=﹣x2+2x+3;(2DE+DF有最大值为;(3)①存在,P的坐标为()或();②t

【解析】

1)设抛物线解析式为y=ax+1)(x3),根据系数的关系,即可解答

2)先求出当x=0时,C的坐标,设直线AC的解析式为y=px+q,把A,C的坐标代入即可求出AC的解析式,过DDG垂直抛物线对称轴于点G,设Dx,﹣x2+2x+3),得出DE+DF=x2+2x+3+x-1=x2+2+x+3-,即可解答

3)①过点CAC的垂线交抛物线于另一点P1,求出直线PC的解析式,再结合抛物线的解析式可求出P1,过点AAC的垂线交抛物线于另一点P2,再利用A的坐标求出P2,即可解答

②观察函数图象与ACQ为锐角三角形时的情况,即可解答

解:(1)设抛物线解析式为y=ax+1)(x3),即y=ax22ax3a

∴﹣2a=2,解得a=1

∴抛物线解析式为y=x2+2x+3

2)当x=0时,y=x2+2x+3=3,则C03),设直线AC的解析式为y=px+q,把A(﹣10),C03)代入得,解得,∴直线AC的解析式为y=3x+3,如答图1,过DDG垂直抛物线对称轴于点G,设Dx,﹣x2+2x+3),

DFAC

∴∠DFG=ACO,易知抛物线对称轴为x=1

DG=x-1DF=x-1),

DE+DF=x2+2x+3+x-1=x2+2+x+3-

∴当x=DE+DF有最大值为

答图1 答图2

3)①存在;如答图2,过点CAC的垂线交抛物线于另一点P1

∵直线AC的解析式为y=3x+3

∴直线PC的解析式可设为y=x+m,把C03)代入得m=3

∴直线P1C的解析式为y=x+3,解方程组,解得,则此时P1点坐标为();过点AAC的垂线交抛物线于另一点P2,直线AP2的解析式可设为y=x+n,把A(﹣10)代入得n=

∴直线PC的解析式为y=,解方程组,解得,则此时P2点坐标为(),综上所述,符合条件的点P的坐标为()或();

t

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