我们知道.对于一个图形.通过两种不同的方法计算它的面积.可以得到一个数字等式.例如图1可以得到=a2+3ab+2b2．请解答下列问题:(1)写出图2中所表示的数学等式2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca,中所得到的结论.解决下面的问题:已知a+b+c=9.ab+bc+ac=26.求a2+b2+c2的值,(3)小明同学用2张边长为a的正方形.3张边� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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13．我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数字等式，例如图1可以得到（a+2b）（a+b）=a²+3ab+2b²．请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=9，ab+bc+ac=26，求a²+b²+c²的值；
（3）小明同学用2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个长方形，那么该长方形较长一边的边长为多少？
（4）小明同学又用x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出了一个面积为（25a+7b）（2a+5b）长方形，那么9（x+y+z）=2016．

分析（1）直接求得正方形的面积，然后再根据正方形的面积=各矩形的面积之和求解即可；
（2）将a+b+c=9，ab+bc+ac=26代入（1）中得到的关系式，然后进行计算即可；
（3）先列出长方形的面积的代数式，然后分解代数式，可得到矩形的两边长；
（4）长方形的面积xa²+yb²+zab=（25a+7b）（9a+5b），然后运算多项式乘多项式法则求得（25a+7b）（2a+45b）的结果，从而得到x、y、z的值，代入即可求解．

解答解：（1）正方形的面积可表示为=（a+b+c）²；
正方形的面积=各个矩形的面积之和=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca，
所以（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca．
（2）由（1）可知：a²+b²+c²=（a+b+c）²-2（ab+bc+ca）=9²-26×2=81-52=29．
（3）长方形的面积=2a²+5ab+3b²=（2a+3b）（a+b）．
所以长方形的边长为2a+3b和a+b，
所以较长的一边长为2a+3b．
（4）∵长方形的面积=xa²+yb²+zab=（25a+7b）（2a+5b）=50a²+14ab+125ab+35b²=50a²+1251ab+35b²，
∴x=50，y=139，z=35．
∴9（x+y+z）=2016．
故答案为：（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca；2016．

点评本题考查的是多项式乘多项式、因式分解的应用，利用面积法列出等式是解题的关键．

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