【题目】已知函数f(x)=ln(x+1)+ax2 , a>0.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)在区间(﹣1,0)有唯一零点x0 , 证明: .
【答案】
(1)解: ,x>﹣1,
令g(x)=2ax2+2ax+1,△=4a2﹣8a=4a(a﹣2),
若△<0,即0<a<2,则g(x)>0,
当x∈(﹣1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
若△=0,即a=2,则g(x)≥0,仅当 时,等号成立,
当x∈(﹣1,+∞)时,f'(x)≥0,f(x)单调递增.
若△>0,即a>2,则g(x)有两个零点 , ,
由g(﹣1)=g(0)=1>0, 得 ,
当x∈(﹣1,x1)时,g(x)>0,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(x1,x2)时,g(x)<0,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(x2,+∞)时,g(x)>0,f'(x)>0,f(x)单调递增.
综上所述,
当0<a≤2时,f(x)在(﹣1,+∞)上单调递增;
当a>2时,f(x)在 和 上单调递增,
在 上单调递减
(2)解:由(1)及f(0)=0可知:仅当极大值等于零,即f(x1)=0时,符合要求.
此时,x1就是函数f(x)在区间(﹣1,0)的唯一零点x0.
所以 ,从而有 ,
又因为 ,所以 ,
令x0+1=t,则 ,
设 ,则 ,
再由(1)知: ,h'(t)<0,h(t)单调递减,
又因为 , ,
所以e﹣2<t<e﹣1,即
【解析】(1)求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间;(2)求出 ,得到 ,令x0+1=t,则 ,设 ,根据函数的单调性证明即可.
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【题目】某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
(1)求图中a的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.
分数段 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) |
x:y | 1:1 | 2:1 | 3:4 | 4:5 |
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【题目】已知函数f(x)=x3+ax2+bx有两个极值点x1、x2 , 且x1<x2 , 若x1+2x0=3x2 , 函数g(x)=f(x)﹣f(x0),则g(x)( )
A.恰有一个零点
B.恰有两个零点
C.恰有三个零点
D.至多两个零点
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【题目】设函数f(x)=x3﹣2ex2+mx﹣lnx,记g(x)= ,若函数g(x)至少存在一个零点,则实数m的取值范围是( )
A.(﹣∞,e2+ ]
B.(0,e2+ ]
C.(e2+ ,+∞]
D.(﹣e2﹣ ,e2+ ]
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【题目】将圆 为参数)上的每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 倍,得到曲线C.
(1)求出C的普通方程;
(2)设直线l:x+2y﹣2=0与C的交点为P1 , P2 , 以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系xoy中,曲线C的参数方程为 (t为参数),以O为极点x轴的正半轴为极轴建极坐标系,直线l的极坐标方程为ρ(cosθ﹣sinθ)=4,且与曲线C相交于A,B两点. (Ⅰ)在直角坐标系下求曲线C与直线l的普通方程;
(Ⅱ)求△AOB的面积.
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