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【题目】已知函数f(x)=ln(x+1)+ax2 , a>0.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)在区间(﹣1,0)有唯一零点x0 , 证明:

【答案】
(1)解: ,x>﹣1,

令g(x)=2ax2+2ax+1,△=4a2﹣8a=4a(a﹣2),

若△<0,即0<a<2,则g(x)>0,

当x∈(﹣1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,

若△=0,即a=2,则g(x)≥0,仅当 时,等号成立,

当x∈(﹣1,+∞)时,f'(x)≥0,f(x)单调递增.

若△>0,即a>2,则g(x)有两个零点

由g(﹣1)=g(0)=1>0,

当x∈(﹣1,x1)时,g(x)>0,f'(x)>0,f(x)单调递增;

当x∈(x1,x2)时,g(x)<0,f'(x)<0,f(x)单调递减;

当x∈(x2,+∞)时,g(x)>0,f'(x)>0,f(x)单调递增.

综上所述,

当0<a≤2时,f(x)在(﹣1,+∞)上单调递增;

当a>2时,f(x)在 上单调递增,

上单调递减


(2)解:由(1)及f(0)=0可知:仅当极大值等于零,即f(x1)=0时,符合要求.

此时,x1就是函数f(x)在区间(﹣1,0)的唯一零点x0

所以 ,从而有

又因为 ,所以

令x0+1=t,则

,则

再由(1)知: ,h'(t)<0,h(t)单调递减,

又因为

所以e﹣2<t<e﹣1,即


【解析】(1)求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间;(2)求出 ,得到 ,令x0+1=t,则 ,设 ,根据函数的单调性证明即可.

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分数段

[50,60)

[60,70)

[70,80)

[80,90)

x:y

1:1

2:1

3:4

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