Question

7．已知关于x的方程x²+2（a-1）x+a²-7a-4=0的两根为x₁、x₂，且满足x₁x₂-3x₁-3x₂-2=0．则（1+$\frac{4}{{a}^{2}-4}$）•$\frac{a+2}{a}$的值是2．

Answer 1

分析 根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-2（a-1），x₁•x₂=a²-7a-4，利用x₁x₂-3x₁-3x₂-2=0得a²-7a-4+6（a-1）-2=0，解得a₁=4，a₂=-3，再把（1+$\frac{4}{{a}^{2}-4}$）•$\frac{a+2}{a}$化简得到$\frac{a}{a-2}$，然后根据分式有意义的条件得到a=4，然后把a=4代入计算即可．

解答 解：根据题意得x₁+x₂=-2（a-1），x₁•x₂=a²-7a-4，
∵x₁x₂-3x₁-3x₂-2=0，
∴a²-7a-4+6（a-1）-2=0，
整理得a²-a-12=0，解得a₁=4，a₂=-3，
（1+$\frac{4}{{a}^{2}-4}$）•$\frac{a+2}{a}$=$\frac{{a}^{2}-4+4}{（a+2）（a-2）}$•$\frac{a+2}{a}$
=$\frac{a}{a-2}$，
∵a-2≠0，
∴当a=4时，（1+$\frac{4}{{a}^{2}-4}$）•$\frac{a+2}{a}$=$\frac{4}{4-2}$=2．
故答案为2．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了分式的化简求值．