Question

已知二次函数y=x²-2（m+1）x+m（m+2）
（1）求证：无论m为任何实数，该函数图象与x轴两个交点之间的距离为定值．
（2）若该函数图象的对称轴为直线x=2，试求二次函数的最小值．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,二次函数的最值

专题：计算题

分析：（1）设抛物线与x轴的两交点分别为（a，0），（b，0），根据抛物线与x轴的交点问题，得到方程x²-2（m+1）x+m（m+2）=0的两根分别为a与b，根据根与系数的关系得a+b=2（m+1），ab=m（m+2），而函数图象与x轴两个交点之间的距离可表示为|a-b|，然后根据代数式的变形得到|a-b|=

(a-b)2

=

(a+b)2-4ab

，再利用整体代入的方法得到|a-b|=

4(m+1)2-4m(m+2)

=2，由此可判断函数图象与x轴两个交点之间的距离为定值．
（2）根据抛物线的对称轴方程得到x=-

-2(m+1)

1

=2，解得m=0，则抛物线解析式为y=x²-2x，然后配成顶点式得到二次函数的最小值．

解答：（1）证明：设抛物线与x轴的两交点分别为（a，0），（b，0），
则a+b=2（m+1），ab=m（m+2），
所以|a-b|=

(a-b)2

=

(a+b)2-4ab

=

4(m+1)2-4m(m+2)

=2，
即无论m为任何实数，该函数图象与x轴两个交点之间的距离为定值；
（2）解：根据题意得x=-

-2(m+1)

1

=2，解得m=0，
则抛物线解析式为y=x²-2x=（x-1）²-1，
所以二次函数的最小值为-1．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．对于二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数，△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了二次函数的性质．