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【题目】如图,已知二次函数y=﹣x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点A(3,1),点C(0,4),顶点为点M,过点A作AB∥x轴,交y轴于点D,交该二次函数图象于点B,连结BC.

(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标;
(2)若将该二次函数图象向下平移m(m>0)个单位,使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界),求m的取值范围;
(3)点P是直线AC上的动点,若点P,点C,点M所构成的三角形与△BCD相似,请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果,不必写解答过程).

【答案】
(1)

解:把点A(3,1),点C(0,4)代入二次函数y=﹣x2+bx+c得,

解得

∴二次函数解析式为y=﹣x2+2x+4,

配方得y=﹣(x﹣1)2+5,

∴点M的坐标为(1,5)


(2)

解:设直线AC解析式为y=kx+b,把点A(3,1),C(0,4)代入得,

解得

∴直线AC的解析式为y=﹣x+4,如图所示,对称轴直线x=1与△ABC两边分别交于点E、点F

把x=1代入直线AC解析式y=﹣x+4解得y=3,则点E坐标为(1,3),点F坐标为(1,1)

∴1<5﹣m<3,解得2<m<4


(3)

解:连接MC,作MG⊥y轴并延长交AC于点N,则点G坐标为(0,5)

∵MG=1,GC=5﹣4=1

∴MC= =

把y=5代入y=﹣x+4解得x=﹣1,则点N坐标为(﹣1,5),

∵NG=GC,GM=GC,

∴∠NCG=∠GCM=45°,

∴∠NCM=90°,

由此可知,若点P在AC上,则∠MCP=90°,则点D与点C必为相似三角形对应点

①若有△PCM∽△BDC,则有

∵BD=1,CD=3,

∴CP= = =

∵CD=DA=3,

∴∠DCA=45°,

若点P在y轴右侧,作PH⊥y轴,

∵∠PCH=45°,CP=

∴PH= =

把x= 代入y=﹣x+4,解得y=

∴P1 );

同理可得,若点P在y轴左侧,则把x=﹣ 代入y=﹣x+4,解得y=

∴P2 );

②若有△PCM∽△CDB,则有

∴CP= =3

∴PH=3 ÷ =3,

若点P在y轴右侧,把x=3代入y=﹣x+4,解得y=1;

若点P在y轴左侧,把x=﹣3代入y=﹣x+4,解得y=7

∴P3(3,1);P4(﹣3,7).

∴所有符合题意得点P坐标有4个,分别为P1 ),P2 ),P3(3,1),P4(﹣3,7)


【解析】(1)将点A、点C的坐标代入函数解析式,即可求出b、c的值,通过配方法得到点M的坐标;(2)点M是沿着对称轴直线x=1向下平移的,可先求出直线AC的解析式,将x=1代入求出点M在向下平移时与AC、AB相交时y的值,即可得到m的取值范围;(3)由题意分析可得∠MCP=90°,则若△PCM与△BCD相似,则要进行分类讨论,分成△PCM∽△BDC或△PCM∽△CDB两种,然后利用边的对应比值求出点坐标.

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