【题目】如图,已知二次函数y=﹣x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点A(3,1),点C(0,4),顶点为点M,过点A作AB∥x轴,交y轴于点D,交该二次函数图象于点B,连结BC.
(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标;
(2)若将该二次函数图象向下平移m(m>0)个单位,使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界),求m的取值范围;
(3)点P是直线AC上的动点,若点P,点C,点M所构成的三角形与△BCD相似,请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果,不必写解答过程).
【答案】
(1)
解:把点A(3,1),点C(0,4)代入二次函数y=﹣x2+bx+c得,
解得
∴二次函数解析式为y=﹣x2+2x+4,
配方得y=﹣(x﹣1)2+5,
∴点M的坐标为(1,5)
(2)
解:设直线AC解析式为y=kx+b,把点A(3,1),C(0,4)代入得,
解得
∴直线AC的解析式为y=﹣x+4,如图所示,对称轴直线x=1与△ABC两边分别交于点E、点F
把x=1代入直线AC解析式y=﹣x+4解得y=3,则点E坐标为(1,3),点F坐标为(1,1)
∴1<5﹣m<3,解得2<m<4
(3)
解:连接MC,作MG⊥y轴并延长交AC于点N,则点G坐标为(0,5)
∵MG=1,GC=5﹣4=1
∴MC= = ,
把y=5代入y=﹣x+4解得x=﹣1,则点N坐标为(﹣1,5),
∵NG=GC,GM=GC,
∴∠NCG=∠GCM=45°,
∴∠NCM=90°,
由此可知,若点P在AC上,则∠MCP=90°,则点D与点C必为相似三角形对应点
①若有△PCM∽△BDC,则有
∵BD=1,CD=3,
∴CP= = = ,
∵CD=DA=3,
∴∠DCA=45°,
若点P在y轴右侧,作PH⊥y轴,
∵∠PCH=45°,CP=
∴PH= =
把x= 代入y=﹣x+4,解得y= ,
∴P1( );
同理可得,若点P在y轴左侧,则把x=﹣ 代入y=﹣x+4,解得y=
∴P2( );
②若有△PCM∽△CDB,则有
∴CP= =3
∴PH=3 ÷ =3,
若点P在y轴右侧,把x=3代入y=﹣x+4,解得y=1;
若点P在y轴左侧,把x=﹣3代入y=﹣x+4,解得y=7
∴P3(3,1);P4(﹣3,7).
∴所有符合题意得点P坐标有4个,分别为P1( ),P2( ),P3(3,1),P4(﹣3,7)
【解析】(1)将点A、点C的坐标代入函数解析式,即可求出b、c的值,通过配方法得到点M的坐标;(2)点M是沿着对称轴直线x=1向下平移的,可先求出直线AC的解析式,将x=1代入求出点M在向下平移时与AC、AB相交时y的值,即可得到m的取值范围;(3)由题意分析可得∠MCP=90°,则若△PCM与△BCD相似,则要进行分类讨论,分成△PCM∽△BDC或△PCM∽△CDB两种,然后利用边的对应比值求出点坐标.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,AB为⊙O的直径,直线CD切⊙O于点M,BE⊥CD于点E.
(1)求证:∠BME=∠MAB;
(2)求证:BM2=BEAB;
(3)若BE= ,sin∠BAM= ,求线段AM的长.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,长方形OABC中,O为平面直角坐标系的原点,A点的坐标为(4,0),C点的坐标为(0,5),点B在第一象限内,点P从原点出发,以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣C﹣B﹣A﹣O的路线移动(即:沿着长方形移动一周)
(1)写出点B的坐标( , );
(2)当点P移动了4秒时,描出此时P点的位置,并求出点P的坐标;
(3)在移动过程中,当点P到x轴距离为4个单位长度时,求点P移动的时间.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某电视台“走基层”栏目的一位记者乘汽车赴320km外的农村采访,全程的前一部分为高速公
路,后一部分为乡村公路.若汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶,汽车行驶的路程y(单位:km)与时间x(单位:h)之间的关系如图所示,则下列结论正确的是( )
A.汽车在高速公路上的行驶速度为100km/h
B.乡村公路总长为90km
C.汽车在乡村公路上的行驶速度为60km/h
D.该记者在出发后5h到达采访地
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