Question

如图，抛物线y=-x²+bx+c经过点A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）．P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，点P的坐标为

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：

分析：把点A、C的坐标代入抛物线解析式求出b、c的值，从而得到抛物线的解析式，再求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，当与BC平行的直线与抛物线有且只有一个交点时，点D到BC的距离最大，此时△BDC的面积最大，然后联立直线与抛物线解析式，消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求出x的值，即可得到点D的横坐标，然后代入直线BC的解析式求出点P的纵坐标，即可得解．

解答：解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c经过点A（-1，0），C（0，3），
∴

-1-b+c=0 c=3

，
解得

b=2 c=3

，
∴y=-x²+2x+3，
令y=0，则-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴点B的坐标为（3，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
则

3k+b=0 b=3

，
解得

k=-1 b=3

，
所以，直线BC的解析式为y=-x+3，
过点D作BC的平行直线，设解析式为y=-x+d，
联立

y=-x+d y=-x2+2x+3

，
消掉y得，-x²+2x+3=-x+d，
整理得，x²-3x-3+d=0，
当△=0时，方程有两个相等的实数根，此时点D到BC的距离最大，△BDC的面积最大，
所以，x=-

-3

2×1

=

3

2

，
∵PD∥y轴，
∴点P的横坐标为

3

2

，
此时y=-

3

2

+3=

3

2

，
∴点P的坐标为（

3

2

，

3

2

）．
故答案为：（

3

2

，

3

2

）．

点评：本题是二次函数的性质，主要考查了待定系数法求函数解析式（二次函数解析式与直线解析式），联立两函数解析式求交点坐标，平行直线的解析式的k值相等，相似三角形对应边成比例的性质，二次函数的最大值问题，综合性较强，难度较大．