Question

如图，抛物线y=-x²+4ax-3经过点M（2，1），交x轴于A、B，交y轴负半轴于C．平移CM交x轴于D，交对称轴右边的抛物线于P，使

DP

CM

=

1

2

，求P点的坐标．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：可先求得a的值，分别过M作MN⊥y轴，过点P作PQ⊥x轴，垂足分别为N、Q，由条件可证明△MNC∽△DQP，可求得PQ的长，代入抛物线可求得P点的坐标．

解答：解：
如图，分别过M作MN⊥y轴，过点P作PQ⊥x轴，垂足分别为N、Q，
∵抛物线y=-x²+4ax-3，且M点坐标为（2，1），
∴1=-4+8a-3，解得a=1，
∴抛物线解析式为y=-x²+4x-3，
∴其对称轴为x=2，
且MN=2，NC=NO+OC=1+3=4，
∵CM∥PD，MN∥x轴，
∴∠NMC=∠OEC=∠QDP，且∠MNC=∠DQP=90°，
∴△DQP∽△MNC，
∴

PQ

NC

=

PD

MC

=

1

2

，即

PQ

4

=

1

2

，解得PQ=2，
∴P点的纵坐标为-2，
当y=-2时，代入抛物线解析式可得-2=-x²+4x-3，解得x=2+

3

或x=2-

3

＜2（舍去），
∴P点坐标为（2，2+

3

）．

点评：本题主要考查待定系数法求函数解析式及相似三角形的判定和性质，由条件求得PQ的长是解题的关键，注意方程思想的应用．