Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，AB⊥AC．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若AE=2，求菱形AECD的面积．

Answer 1

考点：菱形的判定与性质,等腰梯形的性质

专题：

分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=EC=AE，结合条件可证明四边形AECD为菱形；
（2）由菱形的性质可得△AEC≌△ADC，结合条件可证得S_菱形AECD=S_△ABC，且可求得AB=AE=2，由勾股定理可求得AC，可求得△ABC的面积，可求得答案．

解答：（1）证明：∵AB⊥AC，E为BC的中点，
∴BC=2AE=2EC，又BC=2AD，
∴AD=EC，又AD∥BC，
∴四边形AECD为平行四边形，且AE=EC，
∴四边形AECD为菱形；
（2）解：∵四边形AECD为菱形，
∴△AEC≌△ADC，
∴S_菱形AECD=2S_△AEC，
又∵E为BC中点，
∴S_△ABC=2S_△AEC，
∴S_菱形AECD=S_△ABC，
∵四边形AECD为菱形，
∴AE=CD，
又∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AB=CD，
∴AB=AE=2，且BC=2AE=4，
∴AC=2

3

，
∴S_菱形AECD=S_△ABC=

1

2

AB•AC=

1

2

×2×2

3

=2

3

．

点评：本题主要考查菱形的判定和性质及直角三角形的性质，掌握菱形的判定和性质是解题的关键，即①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②对角线互相垂直的平行四边形是菱形，③四条边都相等的四边形是菱形．