Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（-2，），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点．

(1)证明：△MAB是等边三角形．

(2)在⊙M上是否存在点D，使△ACD是直角三角形，若存在，试求点D的坐标；若不存在，请说明理由．

(3)若P（m，n）是过A，B，C三点的抛物线上一点，当∠APB≤30°时，直接写出m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）D点的坐标为（-4，）或D（-1，）；（3）m≥0或m≤-4．

【解析】

（1）连MC，则OM⊥y轴于点C，过点M作MN⊥x轴于点N，根据点M的坐标得到MB、MN，再根据勾股定理求出BN即可求出AB的长度，由此得到结论；

（2）由△ACD是直角三角形分三种情况分别求出点D的坐标；

（3）连接AC、BC，根据等边三角形的性质及圆周角定理求出∠ABC的度数，确定过A，B，C三点的抛物线上点C的对称点的坐标即可得到答案.

（1）证明：连MC，则OM⊥y轴于点C，且MC=2，

过点M作MN⊥x轴于点N，

∵点M的坐标是（-2，）,

∴MN=，

∵MA=MB=MC=2，

∴,

∴AB=2=MA=MB，

∴△MAB是等边三角形．

（2）分三种情况

第一种情况，

当以A为直角顶点时，CD为直径，

∴CD=4，

∴D（-4，）；

第二种情况，

当点C为直角顶点时，

AD为直径，

OB=2-1=1，

连接BD，则DB⊥x轴，

由勾股定理得：BD=，

∴D（-1，）；

第三种情况，

当点D为直角顶点时，

AC不可能为直径，

故不可能D为直角顶点，

所以所求D点的坐标为（-4，）或D（-1，）；

（3）连接AC、BC，

∵△MAB是等边三角形，

∴∠AMBA=60°，

∴∠ACB=30°，

∵过点A、B、C的抛物线的对称轴是直线x=-2，C（0,2），

∴点C的对称点的坐标是（-4,2），

∴当∠APB≤30°时，m≥0或m≤-4．