Question

【题目】已知抛物线y=ax2+bx+2过点A（5，0）和点B（﹣3，﹣4），与y轴交于点C．

（1）求抛物线y=ax2+bx+2的函数表达式；

（2）求直线BC的函数表达式；

（3）点E是点B关于y轴的对称点，连接AE、BE，点P是折线EB﹣BC上的一个动点，

①当点P在线段BC上时，连接EP，若EP⊥BC，请直接写出线段BP与线段AE的关系；

②过点P作x轴的垂线与过点C作的y轴的垂线交于点M，当点M不与点C重合时，点M关于直线PC的对称点为点M′，如果点M′恰好在坐标轴上，请直接写出此时点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2；（2）y=2x+2；（3）①线段BP与线段AE的关系是相互垂直；②点P的坐标为：（﹣4+2，﹣8+4）或（﹣4﹣2，﹣8﹣4）或（0，﹣4）或（﹣，﹣4）．

【解析】

（1）将A（5，0）和点B（﹣3，﹣4）代入y=ax2+bx+2，即可求解；

（2）C点坐标为（0，2），把点B、C的坐标代入直线方程y=kx+b即可求解；

（3）①AE直线的斜率kAE=2，而直线BC斜率的kAE=2即可求解；

②考虑当P点在线段BC上时和在线段BE上时两种情况，利用PM′=PM即可求解．

（1）将A（5，0）和点B（﹣3，﹣4）代入y=ax2+bx+2，

解得：a=﹣，b=，

故函数的表达式为y=﹣x2+x+2；

（2）C点坐标为（0，2），把点B、C的坐标代入直线方程y=kx+b，

解得：k=2，b=2，

故：直线BC的函数表达式为y=2x+2，

（3）①E是点B关于y轴的对称点，E坐标为（3，﹣4），

则AE直线的斜率kAE=2，而直线BC斜率的kAE=2，

∴AE∥BC，而EP⊥BC，∴BP⊥AE

而BP=AE，∴线段BP与线段AE的关系是相互垂直；

②设点P的横坐标为m，

当P点在线段BC上时，

P坐标为（m，2m+2），M坐标为（m，2），则PM=2m，

直线MM′⊥BC，∴kMM′=﹣，

直线MM′的方程为：y=﹣x+（2+m），

则M′坐标为（0，2+m）或（4+m，0），

由题意得：PM′=PM=2m，

PM′2=42+m2=（2m）2，此式不成立，

或PM′2=m2+（2m+2）2=（2m）2，

解得：m=﹣4±2，

故点P的坐标为（﹣4±2，﹣8±4）；

当P点在线段BE上时，

点P坐标为（m，﹣4），点M坐标为（m，2），

则PM=6，

直线MM′的方程不变，为y=﹣x+（2+m），

则M′坐标为（0，2+m）或（4+m，0），

PM′2=m2+（6+m）2=（2m）2，

解得：m=0，或﹣；

或PM′2=42+42=（6）2，无解；

故点P的坐标为（0，﹣4）或（﹣，﹣4）；

综上所述：

点P的坐标为：（﹣4+2，﹣8+4）或（﹣4﹣2，﹣8﹣4）或（0，﹣4）或（﹣，﹣4）．