Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，点D是△ABC内一点，若AC＝AD，∠CAD＝30°，连接BD，则∠ADB的度数为（　　）

A.120°B.135°C.150°D.165°

Answer 1

【答案】B

【解析】

先根据△ABC是等腰直角三角形得：∠CAB=∠ABC=45°，作辅助线，构建全等三角形，证明△CDB≌△AED，则∠ADE=∠CBD，ED=BD，设∠CBD=x，则∠ADE=x，∠DEB=∠DBE=15+x，根据∠ABC=45°列方程可求x的值，根据三角形内角和得∠BDC=150°，最后由周角得出结论．

∵AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠CAB=∠ABC=45°，

∵AC=AD，

∴AD=BC，

∵∠CAD=30°，

∴∠ACD=∠ADC=75°，

∠DAB=45°﹣30°=15°，

∴∠DCB=90°﹣75°=15°，

∴∠EAD=∠DCB，

在AB上取一点E，使AE=CD，连接DE，

在△CDB和△AED中，，

∴△CDB≌△AED(SAS)，

∴∠ADE=∠CBD，ED=BD，

∴∠DEB=∠DBE，

设∠CBD=x，则∠ADE=x，∠DEB=∠DBE=15+x，

∵∠ABC=45°，

∴x+15+x=45，

∴x=15°，

∴∠DCB=∠DBC=15°，

∴∠BDC=180°﹣15°﹣15°=150°，

∴∠ADB=360°﹣75°﹣150°=135°；

故选：B．