Question

【题目】心理学家研究发现，一般情况下，在一节40分钟的课中，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示（其中AB、BC为线段,CD为双曲线的一部分）.

（1）分别求出线段AB和双曲线CD的函数解析式，并写出自变量的取值范围；

（2）开始上课后第5分钟时与第30分钟时比较，何时学生的注意力更集中？

（3）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指数至少为36，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲解完这道题目？说明理由.

Answer 1

【答案】（1）线段AB所在的直线的解析式为y1=2x+20．（0≤x≤10），CD所在双曲线的解析式为y2＝（25≤x≤40）；（2）第30分钟注意力更集中．（3）经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．

【解析】

（1）用待定系数法分别求出AB和CD的函数表达式即可；

（2）分别求第5分钟和第30分钟的注意力指数，最后比较判断；

（3）分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能．

解：（1）设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20，

把B（10，40）代入得，k1=2，

∴y1=2x+20．（0≤x≤10）

设C、D所在双曲线的解析式为y2＝，

把C（25，40）代入得，k2=1000，
∴y2＝（25≤x≤40）；

（2）当x1=5时，y1=2×5+20=30，

当 x1＝30时，y2＝＝，

∴y1＜y2，

∴第30分钟注意力更集中．

（3）令y1=36，

∴36=2x+20，

∴x1=8，

令y2=36，

∴36＝，

∴x2＝≈27.8；

∵27.8-8=19.8＞19，

∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．