Question

【题目】定义：如图①，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM，MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．

（1）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，若AM＝2，MN＝3，求BN的长；

（2）如图2，在Rt△ABC中，AC＝BC，点M，N在斜边AB上，∠MCN＝45°，求证：点M，N是线段AB的勾股分割点（提示：把△ACM绕点C逆时针旋转90°）

（3）在（2）的前提下，若∠BCN＝15°，BN＝1．求AN的长．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）见解析；（3）2+

【解析】

(1)分两种情况讨论，根据勾股分割点定义可求BN的长；

(2)过点A作AD⊥AB，且AD=BN，由题意可证△ADC≌△BNC，可得CD=CN，∠ACD=∠BCN，可求∠MCD=∠MCN，则可证△MDC≌△MNC，可得MN=DM，根据勾股定理可得BN2+AM2=MN2，则点M，N是线段AB的勾股分割点；

(3)过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据等腰直角三角形的性质可得AD=CD=BD，∠DBC=∠DCB=45°，可求∠DCN=∠DCB﹣∠NCB=30°，可得CD=DN=BD，即可求DN=，则可求AN的长．

(1)分两种情况：

①当MN为最大线段时，

∵点 M、N是线段AB的勾股分割点，

∴BN=，

②当BN为最大线段时，

∵点M、N是线段AB的勾股分割点，

∴BN=，

综上所述：BN的长为或；

(2)如图，过点A作AD⊥AB，且AD=BN，

∵AD=BN，∠DAC=∠B=45°，AC=BC，

∴△ADC≌△BNC(SAS)，

∴CD=CN，∠ACD=∠BCN，

∵∠MCN=45°，

∴∠DCA+∠ACM=∠ACM+∠BCN=45°，

∴∠MCD=∠MCN，且CD=CN，CM=CM，

∴△MDC≌△MNC(SAS)，

∴MN=DM，

在Rt△MDA中，AD2+AM2=DM2，

∴BN2+AM2=MN2，

∴点M，N是线段AB的勾股分割点；

(3)如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，

∵AC=BC，∠ACB=90°，CD⊥AB，

∴AD=CD=BD，∠DBC=∠DCB=45°，

∵∠BCN=15°，

∴∠DCN=∠DCB﹣∠NCB=30°，

∵tan∠DCN=，

∴CD=DN，

∴DB=DN，

∵NB=DB﹣DN=DN﹣DN=1，

∴DN=，

∴AD=DB=DN=，

∴AN=AD+DN==2+．