Question

【题目】已知△ABC中， ∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AC，AB为边向外作等边三角形ACD和等边三角形ABE，点F在AB上，且到AE，BE的距离相等．

（1）用尺规作出点F； (要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)

（2）连接EF，DF，证明四边形ADFE为平行四边形．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析

【解析】

（1）由“点F在AB上，且到AE，BE的距离相等”可知作∠AEB的角平分线与AB的交点即为点F；

（2）先证明△ACB≌△AFE，再由全等三角形的性质得出AD∥EF，AD =EF，即可判定四边形ADFE为平行四边形．

解：（1）如图，作∠AEB的角平分线，交AB于F点

∴F为所求作的点

（2）如图，连接EF，DF，

∵△ABE和△ACD都是等边三角形，∠ACB=90°，∠CAB=30°，EF平分∠AEB，

∴∠DAE=150°，∠AEF=30°，

∴△ACB≌△AFE

∴∠DAE+∠AEF=180°，EF=AC

∴AD∥EF，AD=AC=EF

∴四边形ADFE为平行四边形