Question

6．如图，点O是等边△ABC内一点，以CO为边作等边△COD，∠AOB=110°，∠BOC=α．
（1）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（2）求∠OAD；
（3）探究：当α为多少时，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

分析 （1）如图，根据等边三角形的性质得∠ACB=60°，CA=CB，∠OCD=∠3=∠4=60°，OC=CD，则利用旋转的定义，把△BCO绕点C顺时针旋转60°可得到△ACD，再根据旋转的性质得∠ADC=∠BOC=α，于是可计算出∠2=∠ADC-∠4=90°，∠1=360°-150°-60°-110°=40°，所以△AOD为直角三角形；
（2）由（1）可得∠2=∠ADC-∠4=α-60°，∠1=360°-α-60°-110°=190°-α，则利用三角形内角和定理可得∠OAD=180°-∠1-∠2=50°；
（3）分类讨论：当∠1=∠2时，△AOD是等腰三角形，则α-60°=190°-α；当∠2=∠OAD时，△AOD是等腰三角形，则α-60°=50°；当∠1=∠OAD时，△AOD是等腰三角形，则190°-α=50°，然后分别解方程即可得到α的值．

解答 解：（1）△AOD为直角三角形．理由如下：
如图，∵△ABC和△COD都是等边三角形，
∴∠ACB=60°，CA=CB，∠OCD=∠3=∠4=60°，OC=CD，
∴△BCO绕点C顺时针旋转60°可得到△ACD，
∴∠ADC=∠BOC=α，
∵α=150°，
∴∠2=∠ADC-∠4=150°-60°=90°，∠1=360°-150°-60°-110°=40°，
∴△AOD为直角三角形；
（2）∵∠2=∠ADC-∠4=α-60°，∠1=360°-α-60°-110°=190°-α，
∴∠OAD=180°-∠1-∠2=180°-（α-60°）-（190°-α）=50°；
（3）当∠1=∠2时，△AOD是等腰三角形，则α-60°=190°-α，解得α=125°；
当∠2=∠OAD时，△AOD是等腰三角形，则α-60°=50°，解得α=110°；
当∠1=∠OAD时，△AOD是等腰三角形，则190°-α=50°，解得α=140°，
综上所述，当α为110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的判定和等边三角形的判定与性质．注意分类讨论思想的运用．