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【题目】如图①抛物线yax2+bx+4a≠0)与x轴,y轴分别交于点A(﹣10),B40),点C三点.

1)试求抛物线的解析式;

2)点D3m)在第一象限的抛物线上,连接BCBD.试问,在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P,满足∠PBC=∠DBC?如果存在,请求出点P点的坐标;如果不存在,请说明理由;

3)点N在抛物线的对称轴上,点M在抛物线上,当以MNBC为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出点M的坐标.

【答案】(1)y=﹣x2+3x+4;(2)存在.P(﹣).(3

【解析】

1)将A,B,C三点代入yax2+bx+4求出a,b,c值,即可确定表达式;

2)在y轴上取点G,使CGCD3,构建△DCB≌△GCB,求直线BG的解析式,再求直线BG与抛物线交点坐标即为P点,

3)根据平行四边形的对边平行且相等,利用平移的性质列出方程求解,分情况讨论.

解:如图:

1)∵抛物线yax2+bx+4a≠0)与x轴,y轴分别交于点A(﹣10),B40),点C三点.

解得

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4

2)存在.理由如下:

y=﹣x2+3x+4=﹣(x2+

∵点D3m)在第一象限的抛物线上,

m4,∴D34),∵C04

OCOB,∴∠OBC=∠OCB45°

连接CD,∴CDx轴,

∴∠DCB=∠OBC45°

∴∠DCB=∠OCB

y轴上取点G,使CGCD3

再延长BG交抛物线于点P,在△DCB和△GCB中,CBCB,∠DCB=∠OCBCGCD

∴△DCB≌△GCBSAS

∴∠DBC=∠GBC

设直线BP解析式为yBPkx+bk≠0),把G01),B40)代入,得

k=﹣b1

BP解析式为yBP=﹣x+1

yBP=﹣x+1y=﹣x2+3x+4

yyBP 时,﹣x+1=﹣x2+3x+4

解得x1=﹣x24(舍去),

y,∴P(﹣).

3 理由如下,如图

B(40),C(04) ,抛物线对称轴为直线

N(n)M(m, m2+3m+4)

第一种情况:当MNBC为对边关系时,MNBC,MN=BC,

4-=0-m,∴m=

∴﹣m2+3m+4=,

或∴0-=4-m

m=

∴﹣m2+3m+4=,

第二种情况:当MNBC为对角线关系,MNBC交点为K,K(2,2)

m=

∴﹣m2+3m+4=

综上所述,当以MNBC为顶点的四边形是平行四边形时,点M的坐标为 .

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