【题目】如图①抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴,y轴分别交于点A(﹣1,0),B(4,0),点C三点.
(1)试求抛物线的解析式;
(2)点D(3,m)在第一象限的抛物线上,连接BC,BD.试问,在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P,满足∠PBC=∠DBC?如果存在,请求出点P点的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)点N在抛物线的对称轴上,点M在抛物线上,当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出点M的坐标.
【答案】(1)y=﹣x2+3x+4;(2)存在.P(﹣,).(3)
【解析】
(1)将A,B,C三点代入y=ax2+bx+4求出a,b,c值,即可确定表达式;
(2)在y轴上取点G,使CG=CD=3,构建△DCB≌△GCB,求直线BG的解析式,再求直线BG与抛物线交点坐标即为P点,
(3)根据平行四边形的对边平行且相等,利用平移的性质列出方程求解,分情况讨论.
解:如图:
(1)∵抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴,y轴分别交于点A(﹣1,0),B(4,0),点C三点.
∴ 解得
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4.
(2)存在.理由如下:
y=﹣x2+3x+4=﹣(x﹣)2+.
∵点D(3,m)在第一象限的抛物线上,
∴m=4,∴D(3,4),∵C(0,4)
∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB=45°.
连接CD,∴CD∥x轴,
∴∠DCB=∠OBC=45°,
∴∠DCB=∠OCB,
在y轴上取点G,使CG=CD=3,
再延长BG交抛物线于点P,在△DCB和△GCB中,CB=CB,∠DCB=∠OCB,CG=CD,
∴△DCB≌△GCB(SAS)
∴∠DBC=∠GBC.
设直线BP解析式为yBP=kx+b(k≠0),把G(0,1),B(4,0)代入,得
k=﹣,b=1,
∴BP解析式为yBP=﹣x+1.
yBP=﹣x+1,y=﹣x2+3x+4
当y=yBP 时,﹣x+1=﹣x2+3x+4,
解得x1=﹣,x2=4(舍去),
∴y=,∴P(﹣,).
(3) 理由如下,如图
B(4,0),C(0,4) ,抛物线对称轴为直线,
设N(,n),M(m, ﹣m2+3m+4)
第一种情况:当MN与BC为对边关系时,MN∥BC,MN=BC,
∴4-=0-m,∴m=
∴﹣m2+3m+4=,
∴;
或∴0-=4-m,
∴m=
∴﹣m2+3m+4=,
∴;
第二种情况:当MN与BC为对角线关系,MN与BC交点为K,则K(2,2),
∴
∴m=
∴﹣m2+3m+4=
∴
综上所述,当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时,点M的坐标为 .
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【题目】“奔跑吧,兄弟!”节目组,预设计一个新的游戏:“奔跑”路线需经A、B、C、D四地.如图,其中A、B、C三地在同一直线上,D地在A地北偏东30°方向、在C地北偏西45°方向.C地在A地北偏东75°方向.且BD=BC=30m.从A地到D地的距离是( )
A. 30m B. 20m C. 30m D. 15m
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【题目】本着“宁可备而不用,不可用而无备”的理念,1月26日郑州市委市政府决定仅用10天时间建设成郑州版“小汤山医院”,一大批“通行者”从四面八方紧集驰援,170余台机械昼夜不停地忙碌在抗疫一线,如图1所示是建筑师傅正在对长方体型集装箱房进行起吊任务,如图2所示,建筑师傅通过操纵机械臂(图中的OA)来完成起吊,在起吊过程中始终保持集装箱与地平面平行,起吊前工人师傅测得∠PDE=45°,∠PED=60°,OA长20米,DE长6米,EH长3米,O到地面的距离OQ长2米,AP长4米,AP∥OQ,当吊臂OA和水平方向的夹角为53度时,求集装箱底部距离地面的高度.(注:从起吊前到起吊结束始终保持∠PDE,∠PED的度数不变)
(结果精确到1m,参考数据≈1.41,≈1.73,tan53°≈,sin53°≈,cos53°≈)
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【题目】如图,在△ABC中,∠ABC=80°,∠BAC=40°.
(1)尺规作图作出AB的垂直平分线DE,分别与AC、AB交于点D、E.并连结BD;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)证明:△ABC∽△BDC.
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【题目】如图1,有一张矩形纸片已知现将纸片进行如下操作:现将纸片沿折痕进行折叠,使点落在边上的点处,点在上(如图2);然后将纸片沿折痕进行第二次折叠,使点落在第一次的折痕上的点处,点在上(如图3),给出四个结论:①的长为;②的周长为③;④的长为其中正确的结论有( )
A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④
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【题目】某学校为了解九年级的600名学生每天的自主学习情况,随机抽查了九年级的部分学生,并调查他们每天自主学习的时间.根据调查结果,制作了两副不完整的统计图(图1图2),请根据统计图中的信息回答下列问题:
(1)本次调查的学生人数是 人;
(2)图2中角是 度;
(3)将图1条形统计图补充完整;
(4)估算该校九年级学生自主学习不少于1.5小时有多少人.
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【题目】如图,将函数y=(x﹣2)2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象,其中点A(1,m),B(4,n)平移后的对应点分别为点A'、B'.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分),则新图象的函数表达式是( )
A. B.
C. D.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,AB=5cm,BD=8cm.点P从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为;同时,点Q从点D出发,沿DA方向匀速运动,速度为1cm/s.过点P作PN∥BC分别交BD,CD于点M,N,连接QM,QN.设运动时间为.解答下列问题:
(1)当为何值时,点在线段的垂直平分线上?
(2)设的面积为,求与的函数关系式;
(3)在运动过程中,是否存在某一时刻,使的面积为菱形面积的,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由;
(4)是否存在某一时刻,使为等腰三角形?若存在,请直接写出的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,∠ABC的平分线交⊙O于点D,DE⊥BC于点E.
(1)试判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)过点D作DF⊥AB于点F,若BE=3,DF=3,求图中阴影部分的面积.
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