Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4）、B（﹣3，0），将线段AB沿x轴正方向平移n个单位得到菱形ABCD．

（1）画出菱形ABCD，并直接写出n的值及点D的坐标；

（2）已知反比例函数y＝的图象经过点D，ABMN的顶点M在y轴上，N在y＝的图象上，求点M的坐标；

（3）若点A、C、D到某直线l的距离都相等，直接写出满足条件的直线解析式．

Answer 1

【答案】（1）n＝5，点D坐标为（5，4）；（2）M（0，）；（3）y＝﹣2x+9．

【解析】

（1）由勾股定理和菱形的性质可得AB＝BC＝CD＝AD＝5，即可求n的值及点D的坐标；

（2）过点N作NH⊥OA于点H，由平行四边形的性质可得AN＝BM，AN∥BM，可得∠BMO＝∠NAH，由“AAS”可证△ANH≌△MBO，可得HN＝BO＝3，MO＝AH，即可求点M坐标；

（3）由点A、C、D到某直线l的距离都相等，可得直线l是△ACD的中位线所在直线，由待定系数法可求直线解析式．

解：（1）如图，

∵点A（0，4）、B（﹣3，0），

∴AO＝4，BO＝3，

∴AB＝＝5，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，

∵将线段AB沿x轴正方向平移n个单位得到菱形ABCD，

∴n＝5，点C坐标为（2，0），点D坐标为（5，4）；

（2）∵反比例函数y＝的图象经过点D，

∴k＝4×5＝20，

∵N在y＝的图象上，

∴设点N（a，），

如图，过点N作NH⊥OA于点H，

∵四边形ABMN是平行四边形

∴AN＝BM，AN∥BM，

∴∠BMA＝∠NAM，

∴∠BMO＝∠NAH，且AN＝BM，∠BOM＝∠NHA＝90°，

∴△ANH≌△MBO（AAS），

∴HN＝BO＝3，MO＝AH，

∴HN＝a＝3，HO＝，

∴OM＝AH＝HO﹣AO＝，

∴点M（0，）；

（3）∵点A、C、D到某直线l的距离都相等，

∴直线l是△ACD的中位线所在直线，

如图所示：

若直线l过线段AC，CD中点，

∴直线l的解析式为：y＝2，

若直线l过线段AD，AC中点，即直线l过点（，4），点（1，2），

设直线l的解析式为：y＝mx+n

∴ ，

解得：m＝，n＝，

∴直线l的解析式为：y＝，

若直线l过线段AD，CD中点，即直线l过点（，4），点（，2），

设直线l解析式为：y＝kx+b

∴，

解得：k＝﹣2，b＝9，

∴直线l的解析式为：y＝﹣2x+9.