Question

【题目】如图，已知⊙O是边长为6的等边△ABC的外接圆，点D，E分别是BC，AC上两点，且BD＝CE，连接AD，BE相交于点P，延长线段BE交⊙O于点F，连接CF．

（1）求证：AD∥FC；

（2）连接PC，当△PEC为直角三角形时，求tan∠ACF的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）当△PEC为直角三角形时，tan∠ACF=或

【解析】

（1）先说明△ABD≌△BCE，然后再运用全等三角形的性质、圆周角的性质、角的和差以及平行线的判定定理解答即可；

（2）连接PC，分∠PCE=90°，∠CEP=90°和∠CPE=90°三种情况解答即可

解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC=2 , ∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，

∵BD=CE．

∴△ABD≌△BCE(SAS)．

∴∠BAD=∠CBE．

∴∠BPD=∠BAD+∠ABP=∠CBE+∠ABP=60°

∵∠BAC=∠BFC=60°，

∴∠BPD=∠BFC．

∴AD∥FC．

(2) 当△PEC为直角三角形时，可分为三种情况：

∠PCE=90°或∠CEP=90°或∠CPE=90°．

①当∠PCE=90°时，

∵∠PCE<∠ACB=60°，

∴∠PCE=90°这种情况不存在．

②当∠CEP=90°时，

∵AB=BC=AC，

∴AE=EC，∠ABE=∠CBE=30°．

∴∠ACF=∠ABF=30°．

∴tan∠ACF=tan30°=．

③当∠CPE=90°时，过点A作AH⊥BC于点H，

设AE=x，则CD=AE=x，CE=6－x．

∵AB=AC，AH⊥BC，

∴BH=CH=3，∠HAC=∠HAB=30°．

∴HD=3－x．

∵∠BFC=60°，∠CPE=90°，

∴∠PCF=∠HAC=30°．

∵AD∥FC，

∴∠FCA=∠DAC．

∴∠PCF－∠FCA=∠HAC－∠DAC．

∴∠HAD=∠PCE．

∵∠AHD=∠CPE=90°

∴△AHD∽△CPE．

∴．

∴①．

∵∠BPD=∠APE=∠ACB=60° ∠PAE=∠CAD

∴△PAE∽△CAD．

∴．

∴②．

观察①式和②式

可得：．

∴．

解得：x=2．

∴AE=2．

过点E作EG⊥AB于点G

∴在Rt△AEG中 ∠EAG=60°．

∴．

．

∴BG=AB-AG=5．

在Rt△BGE中，tan∠ABE=．

∴tan∠ACF=tan∠ABE=．

综上所述，当△PEC为直角三角形时，tan∠ACF=或．