Question

（1）学有所用：如图1，已知AB=1，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），试用一元二次方程求根公式验证黄金比

AC

AB

=

5 -1

2

．

（2）问题延伸：根据以上结果，我们知道，如果点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），那么

AC

AB

=

BC

AC

=

5 -1

2

．反之，如果

AC

AB

=

5 -1

2

或

BC

AC

=

5 -1

2

，那么点C是线段AB的黄金分割点．
如图2，在（1）的条件下，取线段AC的黄金分割点C₁（AC₁＞CC₁），据此解答以下三个问题：
①计算BC₁的长度，并据此判断点C₁是否为线段AB的另一个黄金分割点；
②再取线段AC₁的黄金分割点C₂（AC₂＞C₂C₁），试用

5 -1

2

的整数次幂的形式表示线段BC、CC₁、C₁C₂的长度；
③已知（

5 -1

2

）¹²=161-72

5

，试求以下代数式的值（可以直接写出结果）：（

5 -1

2

）²+（

5 -1

2

）³+（

5 -1

2

）⁴+（

5 -1

2

）⁵+…+（

5 -1

2

）¹³．

Answer 1

考点：相似形综合题,黄金分割

专题：数形结合

分析：（1）设AC=x，则有BC=1-x，由点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC）可得

BC

AC

=

AC

AB

，从而得到关于x的方程，解这个方程就可解决问题．
（2）①由点C₁是线段AC的黄金分割点（AC₁＞CC₁）可得

CC1

AC1

=

AC1

AC

=

5 -1

2

，由此可求出AC₁、BC₁、

BC1

AB

，从而解决问题；
②由点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），AB=1即可求出AC、BC，由点C₁是线段AC的黄金分割点（AC₁＞CC₁）即可求出AC₁、CC₁，由点C₂是线段AC₁的黄金分割点（AC₂＞C₂C₁）即可求出C₂A、C₁C₂；
③依据①可得到以下规律：BC=AC₁，CC₁=AC₂，C₁C₂=AC₃，…，C_nC_n+1=AC_n+2（n为正整数）；依据②可得到以下规律：CC₁=（

5 -1

2

）³，C₁C₂=（

5 -1

2

）⁴，…，C_nC_n+1=（

5 -1

2

）ⁿ⁺³（n为正整数）．运用数形结合的思想可将所求代数式转化为BC+CC₁+C₁C₂+C₂C₃+…+C₁₀C₁₁=BC₁₁=AB-AC₁₁=AB-C₉C₁₀=1-（

5 -1

2

）¹²，就可解决问题．

解答：解：（1）设AC=x，则有BC=1-x，
∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），
∴

BC

AC

=

AC

AB

，∴AC²=BC•AB，
∴x²=（1-x）•1，
整理得：x²+x-1=0，
解得：x₁=

-1+ 5

2

，x₂=

-1- 5

2

（舍负），
∴AC=

-1+ 5

2

，∴

AC

AB

=

5 -1

2

．

（2）①∵点C₁是线段AC的黄金分割点（AC₁＞CC₁），
∴

CC1

AC1

=

AC1

AC

=

5 -1

2

，
∴AC₁=

5 -1

2

AC=（

5 -1

2

）²，
∴BC₁=AB-AC₁=1-（

5 -1

2

）²=1-

6-2 5

4

=

5 -1

2

，
∴

BC1

AB

=

5 -1

2

，
∴点C₁是线段AB的另一个黄金分割点．

②∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），
∴

AC

AB

=

BC

AC

=

5 -1

2

，
∵AB=1，∴AC=

5 -1

2

，BC=

5 -1

2

AC=（

5 -1

2

）²，
∵点C₁是线段AC的黄金分割点（AC₁＞CC₁），
∴

CC1

AC1

=

AC1

AC

=

5 -1

2

，
∴AC₁=（

5 -1

2

）²，CC₁=

5 -1

2

AC₁=（

5 -1

2

）³．
∵点C₂是线段AC₁的黄金分割点（AC₂＞C₂C₁），
∴

C1C2

C2A

=

C2A

C1A

=

5 -1

2

，
∴C₂A=（

5 -1

2

）³，C₁C₂=

5 -1

2

C₂A=（

5 -1

2

）⁴，
∴线段BC长为（

5 -1

2

）²，线段CC₁长为（

5 -1

2

）³，线段C₁C₂长为（

5 -1

2

）⁴．

③依据①可得到以下规律：BC=AC₁，CC₁=AC₂，C₁C₂=AC₃，…，C_nC_n+1=AC_n+2（n为正整数）；
依据②可得到以下规律：CC₁=（

5 -1

2

）³，C₁C₂=（

5 -1

2

）⁴，…，C_nC_n+1=（

5 -1

2

）ⁿ⁺³（n为正整数）．
∴（

5 -1

2

）²+（

5 -1

2

）³+（

5 -1

2

）⁴+（

5 -1

2

）⁵+…+（

5 -1

2

）¹³
=BC+CC₁+C₁C₂+C₂C₃+…+C₁₀C₁₁=BC₁₁
=AB-AC₁₁=AB-C₉C₁₀
=1-（

5 -1

2

）¹²
=1-（161-72

5

）
=72

5

-160．

点评：本题考查了黄金分割、解一元二次方程等知识，考查了规律探究，运用了数形结合的思想，是一道考查能力的好题．