Question

10．探究与证明：
（1）如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直且相等，BE⊥CD于E，在BE上截取BP=CD，连接DP．试探究线段DA、DP之间的数量关系和位置关系，并将你得到的结论予以证明；
（2）若将四边形的对角线AC平移，即仍保持AC=BD，AC⊥BD，过点B作BE⊥CD于E，在BE上截取BP=CD，连接DP（如图2）．问（1）中的结论还成立吗？若成立，予以证明；若不成立，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据垂直的定义得到∠COD=∠BED=90°，根据三角形的内角和得到∠DBP=∠ACD，推出△ACD≌△DBP，根据全等三角形的性质得到AD=PD，∠DAC=∠DBP，根据余角的性质得到即可得到结论；
（2）根据垂直的定义得到∠COD=∠BED=90°，根据三角形的内角和得到∠DBP=∠ACD，推出△ACD≌△DBP，根据全等三角形的性质得到AD=PD，∠DAC=∠DBP，根据余角的性质得到即可得到结论．

解答 解：（1）AD=PD，AD⊥PD，
理由：∵AC⊥BD，BE⊥CD，
∴∠COD=∠BED=90°，
∵∠ODE=∠ODE，
∴∠DBP=∠ACD，
在△ACD与△BDP中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BD}\\{∠ACD=∠DBP}\\{CD=BP}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△DBP，
∴AD=PD，∠DAC=∠DBP，
∵∠DAC+∠ADB=90°，
∴∠ADB+∠BDP=90°，
∴∠ADP=90°，
∴AD⊥DP；

（2）（1）中的结论成立，
∵AC⊥BD，BE⊥CD，
∴∠COD=∠BED=90°，
∵∠ODE=∠ODE，
∴∠DBP=∠ACD，
在△ACD与△BDP中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BD}\\{∠ACD=∠DBP}\\{CD=BP}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△DBP，
∴AD=PD，∠DAC=∠DBP，
∵∠DAC+∠ADB=90°，
∴∠ADB+∠BD=90°，
∴∠ADP=90°，
∴AD⊥DP．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，余角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．