【题目】类比、转化、从特殊到一般等思想方法,在数学学习和研究中经常用到,如下是一个案例,请补充完整.
原题:如图1,在平行四边形中,点是边上的中点,点是线段上一点,的延长线交射线于点,若,求的值.
(1)尝试探究
在图1中,过点作交于点,则和的数量关系是______,和的数量关系是______,的值是______;
(2)类比延伸
如图2,在原题的条件下,当时,参照问题(1)的研究结论,请你猜想的值(用含的代数式表示),并证明你的猜想;
(3)拓展迁移
如图3,梯形中,,点是延长线上一点,和相交于点,当,时,请你求出的值(用含、的代数式表示).
【答案】(1)(1),,;(2)见解析;(3)ab.
【解析】
(1)可利用三角形相似、平行四边形的有关性质求得结果;(2)体现了“一般”的情形,虽然 不再是一个确定的数值,但可类比问题(1)的解题思路去猜想、证明 的值;问题(3)的解答体现了“类比”与“转化”的情形,可过点E作 交BD的延长线于点H,将(1)、(2)问中的解题方法推广转化到梯形中.
解 (1)解:(1)如图1:
∵EH//AB.
∴
又∵E为BC中点,
∴EH为△BCG的中位线,
∴CG=2EH.
故答案为,,.
,,.
(2)猜想:.
证明:如图1:
∵EH//AB.
∴
∴,则.
∵,
∴.
∵,
∴,
∴,
∴,
∴.
(3)如下图所示,过点作交的延长线于点,则有.
∵,
∴.
∴,
∴.
又∵,
∴.
∵,
∴.
∴.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AB=4,△BCD为等边三角形,点E为△BCD围成的区域(包括各边)内的一点,过点E作EM∥AB,交直线AC于点M,作EN∥AC,交直线AB于点N,则AN+AM的最大值为_____.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点为M,直线y=m与抛物线交于点A,B,若△AMB为等腰直角三角形,我们把抛物线上A,B两点之间的部分与线段AB 围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形,线段AB称为碟宽,顶点M 称为碟顶.
(1)由定义知,取AB中点N,连结MN,MN与AB的关系是_____.
(2)抛物线y=对应的准蝶形必经过B(m,m),则m=_____,对应的碟宽AB是_____.
(3)抛物线y=ax2﹣4a﹣(a>0)对应的碟宽在x 轴上,且AB=6.
①求抛物线的解析式;
②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P(xp,yp),使得∠APB为锐角,若有,请求出yp的取值范围.若没有,请说明理由.
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的直线互相垂直,垂足为D,且AC平分∠DAB.
(1)求证:DC为⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为3,AD=4,求CD的长.
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【题目】为了了解某校初中各年级学生每天的平均睡眠时间(单位:h,精确到1h),抽样调查了部分学生,并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图.
请你根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)求出扇形统计图中百分数a的值为 ,所抽查的学生人数为 .
(2)求出平均睡眠时间为8小时的人数,并补全频数直方图.
(3)求出这部分学生的平均睡眠时间的众数和平均数.
(4)如果该校共有学生1200名,请你估计睡眠不足(少于8小时)的学生数.
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【题目】抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况,从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试,测试结果分为A,B,C,D四个等级.请根据两幅统计图中的信息回答下列问题:
(1)本次抽样调查共抽取了多少名学生?
(2)求测试结果为C等级的学生数,并补全条形图;
(3)若该中学八年级共有700名学生,请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名?
(4)若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生,做为该校培养运动员的重点对象,请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率.
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【题目】如果点D、E分别在△ABC中的边AB和AC上,那么不能判定DE∥BC的比例式是( )
A. AD:DB=AE:EC B. DE:BC=AD:AB
C. BD:AB=CE:AC D. AB:AC=AD:AE
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【题目】如图,帆船A和帆船B在太湖湖面上训练,O为湖面上的一个定点,教练船静候于O点,训练时要求A、B两船始终关于O点对称.以O为原点,建立如图所示的坐标系,x轴、y轴的正方向分别表示正东、正北方向.设A、B两船可近似看成在双曲线y=上运动,湖面风平浪静,双帆远影优美,训练中当教练船与A、B两船恰好在直线y=x上时,三船同时发现湖面上有一遇险的C船,此时教练船测得C船在东南45°方向上,A船测得AC与AB的夹角为60°,B船也同时测得C船的位置(假设C船位置不再改变,A、B、C三船可分别用A、B、C三点表示).
(1)发现C船时,A、B、C三船所在位置的坐标分别为A(_______,_______)、B(_______,_______)和C(_______,_______);
(2)发现C船,三船立即停止训练,并分别从A、O、B三点出发沿最短路线同时前往救援,设A、B两船的速度相等,教练船与A船的速度之比为3:4,问教练船是否最先赶到?请说明理由.
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【题目】如图,直线AB:y=kx+b与x轴.y轴分别相交于点A(1,0)和点B(0,2),以线段AB为边在第一象限作正方形ABCD.
(1)求直线AB的解析式;
(2)求点D的坐标;
(3)若双曲线(k>0)与正方形的边CD绐终有一个交点,求k的取值范围.
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