Question

【题目】如图，在等腰直角三角形ABC中，，D为BC的中点，DEAB，垂足为E，过点B作BF//AC交DE的延长线于点F.

（1）求证：；

（2）连接AF，求证：AF=CF.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析．

【解析】

（1）由D为BC的中点得出CD=DB，再由等腰直角三角形结合垂直、平行的性质得出BF=DB，∠CBF=∠ACD，由BC=AC，即可证出（SAS）；
（2）由（1）得△BDF是等腰直角三角形，由等腰三角形三线合一可得BE垂直平分DF，根据线段垂直平分线的性质可得结论．

证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=CB，∠CBA=∠CAB=45°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，∠BDE=45°，
又∵BF∥AC

∴∠CBF=90°，

∴∠BFD=∠BDE=45°，∠CBF=∠ACD=90°，
∴BF=DB，
∵D为BC的中点，
∴CD=DB，
∴BF=CD，
在Rt△CBF和Rt△ACD中，

∴（SAS）；

（2）由（1）知：BF=DB，∠CBF=90°，
∵△DBF是等腰直角三角形，
∵DEAB，

∴BE垂直平分DF，
∴AF=AD，
∵，
∴CF=AD，
∴AF=CF．