Question

12．如图，边长为2的正三角形DEF的三个顶点恰好在边长为3的正三角形ABC的各边上，则三角形AEF的内切圆的半径为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 由于△ABC、△EFD都是等边三角形，因此它们的内心重合，设△ABC的内心为M，△AEF的内心为N，连接FN、MF，可先证MN=MF，而后由AN=MA-MN=MA-MF求出MA的值，易知∠NAF=30°，根据直角三角形的性质即可求出△AEF的内切圆半径．

解答 解：设△AEF的内切圆半径为r，
∵△ABC、△DEF都是等边三角形，且△DEF的三个顶点都在△ABC的边上，
∴△AEF≌△BDE≌△CFD，
∴AF=BE，AE+AF+EF=AE+BE+EF=3+2=5．
S_△ABC=$\frac{1}{2}×3×\frac{\sqrt{3}}{2}×3$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，S_△DEF=$\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}×2$=$\sqrt{3}$
∴S_△AEF=$\frac{1}{3}$（S_△ABC-S_△DEF）=$\frac{1}{3}×（\frac{9\sqrt{3}}{4}-\sqrt{3}）$=$\frac{5\sqrt{3}}{12}$．
∴r═$\frac{2{S}_{△AEF}}{AE+AF+EF}=\frac{2×\frac{5\sqrt{3}}{12}}{5}=\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题主要考查的是等边三角形的性质、三角形的内切圆、三角形的外角性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握三角形的内切圆的半径与三角形的周长、面积之间的关系是解题的关键．