Question

17．在边长为1的正方形ABCD中，点P是边BC上一点（点P不与点B，点C重合），点C关于直线AP的对称点为C′．
（1）如果C′落在线段AB的延长线上，
①求∠BAP的度数；
②求线段BP的长度；
（2）设直线AP与CC′的交点为M，求证：BM⊥DM．

Answer 1

分析 （1）①由正方形的性质得出AB=BC=1，∠ABC=90°，∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°，由对称的性质得出∠BAP=∠CAP=$\frac{1}{2}$∠BAC即可；
②由勾股定理求出AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$，由角平分线的性质定理即可求出BP的长度；
（2）连接BM，先证明B、M、C、A四点共圆，得出∠AMD=∠ACD=45°，再证明A、M、C、D四点共圆，得出∠AMD=∠ACD=45°，得出∠BMD=90°即可．

解答 （1）解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=1，∠ABC=90°，∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°，
由对称的性质得：∠BAP=∠CAP=$\frac{1}{2}$∠BAC=22.5°；
②由勾股定理得：AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
由①得：AP是∠BAC的平分线，
∴$\frac{BP}{CP}=\frac{AB}{AC}$，
即$\frac{BP}{1-BP}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，
解得：BP=$\sqrt{2}$-1；
（2）证明：如图所示：
∵∠ABC=∠AMC=90°，
∴B、M、C、A四点共圆，
∴∠AMD=∠ACD=45°，
∵∠AMC=∠ADC=90°，
∴A、M、C、D四点共圆，
∴∠AMD=∠ACD=45°，
∴∠BMD=90°，
∴BM⊥DM．

点评 本题考查了正方形的性质、勾股定理、对称的性质、角平分线的性质定理、四点共圆、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度．