Question

16．在△ABC中，AB=a，AC=b，∠A=α，求△ABC的面积（用含有字母a，b，α的式子表示）

Answer 1

分析 根据题意，本题分三种情况，第一种是0°＜α＜90°，第二种是α=90°，第三种是90°＜α＜180°，然后画出相应的图形，即可解答本题．

解答 解：当0°＜α＜90°时，如下图所示：

作BD⊥AC于点D，
∵在△ABC中，AB=a，AC=b，∠A=α，
∴BD=AB×sinα．
${S}_{△ABC}=\frac{AC×BD}{2}=\frac{b×asinα}{2}$=$\frac{absinα}{2}$．
当α=90°时，如下图所示：

∵在△ABC中，AB=a，AC=b，∠A=α，
∴${S}_{△ABC}=\frac{AB×AC}{2}=\frac{ab}{2}$．
当90°＜α＜180°时，如下图所示：

作BD⊥CA交CA的延长线于点D，
∵在△ABC中，AB=a，AC=b，∠A=α，
∴BD=AB×sin（180°-α）=asin（180°-α）．
∴${S}_{△ABC}=\frac{AC×BD}{2}=\frac{basin（180°-α）}{2}$=$\frac{absin（180°-α）}{2}$．

点评 本题考查三角形的面积、锐角三角函数，数学中分类讨论思想的运用，关键是根据题意分析出三种情况．