Question

6．如图，在一次海关缉私行动中，发现一走私艇在海关指挥艇（O处）北偏西30°的A处，此时缉私艇在指挥艇南偏东70°的B处，并且两船到指挥艇的距离相等，现发现走私艇向正东方向以30海里/小时的速度前进，与此同时缉私艇沿北偏东50°的方向以40海里/小时的速度前进1小时后，指挥艇观测走私艇，缉私艇分别到达E，F处，这时两船的夹角∠EOF=70°，试求此时两船之间的距离．

Answer 1

分析 连接EF，延长FB到G，使BG=AE，连接OG，根据同角的补角相等求出∠OAE=∠OBG，然后利用“边角边”证明△AOE和△BOG全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OG，∠AOE=∠BOG，再求出∠EOF=∠GOF，然后利用“边角边”证明△OEF和△OGF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF，然后得出EF=AE+BF．

解答 解：如图，连接EF，延长FB到G，使BG=AE，连接OG．
∵∠OAE+∠OBF=（90°-30°）+（70°+50°）=180°，∠OBG+∠OBF=180°，
∴∠OAE=∠OBG，
在△AOE和△BOG中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OB}\\{∠OAE=∠OBG}\\{AE=BG}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BOG（SAS），
∴OE=OG，∠AOE=∠BOG，
∵∠EOF=70°，∠AOB=30°+90°+（90°-70°）=140°，
∴∠GOF=∠BOG+∠BOF=∠AOE+∠BOF=∠AOB-∠EOF=70°=∠EOF，
∴∠EOF=∠GOF．
在△OEF和△OGF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OG}\\{∠EOF=∠GOF}\\{OF=OF}\end{array}\right.$，
∴△OEF≌△OGF（SAS），
∴EF=GF，
∵GF=BG+BF=AE+BF，
∴EF=AE+BF，即EF=1×（30+40）=70海里．
答：此时两舰艇之间的距离是70海里．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形并两次证明三角形全等是解题的关键，也是本题的难点．