Question

16．若关于x的方程（k-3）x²-$\sqrt{1+2k}$x+1=0有实数根，求k的取值范围．

Answer 1

分析 要分类讨论：若k-3=0，而-$\sqrt{1+2k}$≠0，原方程变为一元一次方程，有解；当k-3≠0，原方程变为一元二次方程，如果△≥0，即△=1+2k-4（k-3）≥0，且1+2k≥0方程有实数根，得到-$\frac{1}{2}$≤k≤$\frac{13}{2}$，且k≠3，最后综合得到k的取值范围．

解答 解：当k-3≠0，即k≠3时，方程是一元二次方程，
由关于x的方程（k-3）x²-$\sqrt{1+2k}$x+1=0有实数根，得
△=（-$\sqrt{1+2k}$）²-4（k-3）=-2k+13≥0，且1+2k≥0，
解得-$\frac{1}{2}$≤k≤$\frac{13}{2}$；
当k-3=0，即k=3时，方程是一元一次方程，方程有实数根，
综上所述：当-$\frac{1}{2}$≤k≤$\frac{13}{2}$，关于x的方程（k-3）x²-$\sqrt{1+2k}$x+1=0有实数根．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元一次方程和一元二次方程的定义，二次根式的定义以及分类讨论思想的运用．