Question

12．已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c经过点A（4，0）、点C（0，-4），点B与点A关于这条抛物线的对称轴对称．
（1）用配方法求这条抛物线的顶点坐标；
（2）联结AC、BC，求∠ACB的正弦值；
（3）点P是这条抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m（m＞0）．过点P作y轴的垂线PQ，垂足为Q．如果∠QPO=∠BCO，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；
（2）根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得B点坐标，根据等腰直角三角形的性质，可得BH的长，根据勾股定理，可得BC的长，根据锐角三角的正弦函数等于对边比斜边；
（3）根据相等角的正切值相等，可得P点纵坐标与横坐标的关系，根据点在函数图象上，可得点的坐标满足函数解析式，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）将A、C点坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}×{4}^{2}+4b+c=0}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-x-4，
配方得y=$\frac{1}{2}$（x-1）²-$\frac{9}{2}$，
顶点坐标为（1，-$\frac{9}{2}$）；
（2）作BH⊥AC于H点，如图1，
抛物线的对称轴为x=1，
A到对称轴的距离是4-1=3，
B点的横坐标为1-3=-2，B（-2，0），
AB=4-（-2）=6．
由OA=OC=4，得∠OAC=45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，BH=AH=3$\sqrt{2}$，
又BC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
在Rt△BCH中，sin∠ACB=$\frac{BH}{BC}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$；
（3）如图2，
Rt△BOC中，tan∠BCO=$\frac{BO}{OC}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
故Rt△OPQ中，tan∠QPO=$\frac{OQ}{PQ}$=$\frac{|{y}_{P}|}{|{x}_{P}|}$=$\frac{1}{2}$，
①设P（m，$\frac{1}{2}$m），将P点代入抛物线的解析式y=$\frac{1}{2}$x²-x-4，得
$\frac{1}{2}$m²-m-4=$\frac{1}{2}$m．
解得m=$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，m=$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$（不符合题意，舍）；
②设P（m，-$\frac{1}{2}$m），将P点代入抛物线的解析式y=$\frac{1}{2}$x²-x-4，得
$\frac{1}{2}$m²-m-4=-$\frac{1}{2}$m．
解得m=$\frac{1+\sqrt{33}}{2}$，m=$\frac{1-\sqrt{33}}{2}$（不符合题意，舍），
综上所述：m₂=$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，m₁=$\frac{1+\sqrt{33}}{2}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用配方法是求顶点坐标的关键；利用等腰直角三角形的性质得出BH的长是解题关键；利用相等角的正切值相等得出P点纵坐标与横坐标的关系是解题关键．