Question

20．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．半径为1的⊙A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与边BC的延长线交于点P．

（1）当∠B=30°时，求证：△ABC∽△EPC；
（2）当∠B=30°时，连接AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；
（3）若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件易求∠A=60°，又因为AD=AE，所以△ADE是等边三角形，进而可得∠CEP=60°，由三角形内角和定理可求∠P=30°，继而可证明△ABC∽△EPC；
（2）根据∠B=30°，∠ACB=90°可得∠BAC=60°，从而得到△ADE是等边三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BPD=30°，然后根据等角对等边的性质可得BD=PD，再根据△AEP与△BDP相似可得PE=AE，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求解；
（3）设BD=BC=x，表示出AB、AC的长度，然后利用勾股定理列式求出x的值为4，过点C作CF∥DP交AB于点F，再根据平行线分线段成比例定理求出DF=2，然后求出BF的长度，再次利用平行线分线段成比例定理求出CP的长度，然后根据正切值的定义解答即可．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠A=60°，
∵AD=AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=∠AED=60°，
∴∠PEC=∠AED=60°，
∵∠ACB=∠ECP=90°，
∴∠P=30°，
∴△ABC∽△EPC；
（2）∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°-30°=60°，
∴△ADE是等边三角形，
在△BDP中，∠ADE=∠B+∠BPD，
即60°=30°+∠BPD，
解得∠BPD=30°，
∴∠B=∠BPD，
∴BD=PD，
∵△AEP与△BDP相似，
∴AE=PE，
∵⊙A的半径为1，
∴PE=1，
在Rt△PCE中，CE=$\frac{1}{2}$PE=$\frac{1}{2}$；
（3）设BD=BC=x，
∵⊙A的半径为1，CE=2，
∴AB=x+1，AC=2+1=3，
∵∠ACB=90°，
∴AC²+BC²=AB²，
即3²+x²=（x+1）²，
解得x=4，
过点C作CF∥DP交AB于点F，（如图2）
则$\frac{AE}{CE}=\frac{AD}{DF}$，$\frac{BF}{DF}=\frac{BC}{CP}$，
即$\frac{1}{2}=\frac{1}{DF}$，
解得DF=2，
∴BF=BD-DF=4-2=2，
又由CF∥DP可得$\frac{BF}{DF}=\frac{BC}{CP}$，
即$\frac{2}{2}=\frac{4}{CP}$，
解得CP=4，
∴tan∠BPD=$\frac{CE}{CP}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，平行线分线段成比例定理，等角对等边的性质，利用比例式的基本性质得到有关线段的数量关系解题的关键．