Question

5．抛物线y=2x²-8x+6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其下方的部分记为C₁，将C₁向右平移得到C₂，C₂与x轴交于点B、D，若直线y=-x+m与C₁、C₂共有3个不同的交点，则m的取值范围是$\frac{15}{8}$＜m＜3．

Answer 1

分析 首先求出点A和点B的坐标，然后求出C₂解析式，分别求出直线y=-x+m与抛物线C₂相切时m的值以及直线y=-x+m过点B时m的值，结合图形即可得到答案．

解答 解：y=2x²-8x+6=2（x-2）²-2
令y=0，
即x²-4x+3=0，
解得x=1或3，
则点A（1，0），B（3，0），
由于将C₁向右平移2个长度单位得C₂，
则C₂解析式为y=2（x-4）²-2（3≤x≤5），
当y=-x+m₁与C₂相切时，
令y=-x+m₁=y=2（x-4）²-2，
即2x²-15x+30-m₁=0，
△=8m₁-15=0，
解得m₁=$\frac{15}{8}$，
当y=-x+m₂过点B时，
即0=-3+m₂，
m₂=3，
当$\frac{15}{8}$＜m＜3时直线y=-x+m与C₁、C₂共有3个不同的交点，
故答案为$\frac{15}{8}$＜m＜3．

点评 本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．