Question

8．在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，以AC为腰向外作等腰直角△ACE，∠EAC=90°，连接BE，交AD于点F，交AC于点G．
（1）若∠BAC=40°，求∠AEB的度数；
（2）求证：∠AEB=∠ACF；
（3）求证：EF²+BF²=2AC²．

Answer 1

分析 （1）根据等腰直角三角形的旋转得出∠ABE=∠AEB，求出∠BAE，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据等腰三角形的性质得出∠BAF=∠CAF，根据SAS推出△BAF≌△CAF，根据全等得出∠ABF=∠ACF，即可得出答案；
（3）根据全等得出BF=CF，求出∠CFG=∠EAG=90°，根据勾股定理求出EF²+BF²=EF²+CF²=EC²，EC²=AC²+AE²=2AC²，即可得出答案．

解答 （1）解：∵AB=AC，△ACE是等腰直角三角形，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
又∵∠BAC=40°，∠EAC=90°，
∴∠BAE=40°+90°=130°，
∴∠AEB=（180°-130°）÷2=25°；

（2）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠BAF=∠CAF．
在△BAF和△CAF中
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AF}\\{∠BAF=∠CAF}\\{AB=AC}\end{array}\right.$
∴△BAF≌△CAF（SAS），
∴∠ABF=∠ACF，
∵∠ABE=∠AEB，
∴∠AEB=∠ACF；

（3）证明：∵△BAF≌△CAF，
∴BF=CF，
∵∠AEB=∠ACF，∠AGE=∠FGC，
∴∠CFG=∠EAG=90°，
∴EF²+BF²=EF²+CF²=EC²，
∵△ACE是等腰直角三角形，
∴∠CAE=90°，AC=AE，
∴EC²=AC²+AE²=2AC²，
即EF²+BF²=2AC²．

点评 本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较好，有一定的难度．