Question

18．如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，10），点B在第一象限内．D为OC的中点．
（1）写出点B的坐标（4，10）．
（2）P为AB边上的动点，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，求出点P的坐标．
（3）在x轴上找一点Q，使|QD-QB|最大，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得到AB=OC，BC=OA，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，10），得到OA=4，OC=10，即可得到结论；
（2）由D为OC的中点，得到OD=5，求得OA=4，OD=5，分为两种情况：①当OP₁=OD=5时，在Rt△OAP中，由勾股定理得：AP₁=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，即P的坐标是（4，3）；
②以D为圆心，以5为半径作弧，交AB于P₂、P₃，此时DP₂=DP₃=5=OD，过D作DE⊥AB于E，在Rt△EDP中，DE=OA=4，由勾股定理得：PE=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，于是得到AP=5-3=2＜AB，求得P₂的坐标是（4，2）；当在P₃处时，CP₃=5+3=8＜BC，得到P₃在AB上，AB∥OC，B（4，10），此时P₃的坐标是（4，8），
（3）连接BD并延长交x轴于Q，则点Q即为|QD-QB|最大的点，求出直线BD的解析式为：y=$\frac{5}{4}$x+5，当y=0时，x=-4，即可得到结论．

解答 解：（1）在长方形OABC中，
∵AB=OC，BC=OA，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，10），
∴OA=4，OC=10，
∴AB=10，BC=4，
∴点B的坐标（4，10）；
故答案为：（4，10）；

（2）∵D为OC的中点，
∴OD=5，
∴OA=4，OD=5，
分为两种情况：①当OP₁=OD=5时，在Rt△OAP中，由勾股定理得：AP₁=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
即P的坐标是（4，3）；
②以D为圆心，以5为半径作弧，交AB于P₂、P₃，此时DP₂=DP₃=5=OD，过D作DE⊥AB于E，
∵在Rt△EDP中，DE=OA=4，由勾股定理得：PE=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴AP=5-3=2＜AB，
∵P₂在AB上，AB∥OC，B（4，10），
∴P₂的坐标是（4，2）；
当在P₃处时，CP₃=5+3=8＜BC，
∵P₃在AB上，AB∥OC，B（4，10），
此时P₃的坐标是（4，8），
综上所述：P（4，2）、（4，3）、（4，8）

（3）连接BD并延长交x轴于Q，则点Q即为|QD-QB|最大的点，
设直线BD的解析式为：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{10=4k+b}\\{5=b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{5}{4}}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为：y=$\frac{5}{4}$x+5，
当y=0时，x=-4，
∴Q（-4，0）．

点评 本题考查了轴对称-最短距离问题，等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的性质、坐标和图形变换等，注意：应进行分类讨论，题目比较好，难度适中．