Question

9．如图，△ABC中，AP垂直∠ABC的平分线BP于点P，若△ABC的面积是16平方厘米，BP=5cm，且△APB的面积是△APC的面积的3倍，则AP=$\frac{12}{5}$cm．

Answer 1

分析 延长AP交BC于E，根据AP垂直∠B的平分线BP于P，即可求出△ABP≌△EBP，又知△APC和△CPE等底同高，可以证明两三角形面积相等，即可求得△APB的面积．

解答 解：解：延长AP交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∴∠ABP=∠EBP，∠APB=∠BPE=90°，
在△ABP和△EBP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABP=∠EBP}\\{BP=BP}\\{∠APB=∠EPB}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴S_△ABP=S_△EBP，AP=EP，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴S_△APC=S_△PCE，
∵S_△ABP=3S_△APC，
∴S_△EBP=3S_△PCE，
∵S_△PBC=8cm²，
∴S_△EBP=6cm²，
∴S_△ABP=6cm²．
∵BP=5cm，
∴AP=$\frac{2×6}{5}$=$\frac{12}{5}$cm．
故答案为：$\frac{12}{5}$．

点评 本题主要考查面积及等积变换以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．