Question

【题目】抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（-1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①a-b+c=0；②2c<3b；③当m≠1时，a+b<am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，a=；其中正确的有（　 　）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），可得对称轴x=1，将A、B两点代入可得a-b+c=0及c、b的关系；函数开口向下，x＝1时取得最小值，则m≠1，可判断③；根据图象AD＝BD，顶点坐标，判断④．

①∵二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A（1，0）、B（3，0）．

∴ab＋c＝0，9a＋3b＋c＝0，故①正确

又∵二次函数的对称轴为x＝＝1=- ，

∴b＝2a．

∴3b＝6a，a（2a）＋c＝0．

∴3b＝6a，2c＝6a．

∴2c＝3b．

故②错误；

③ ∵抛物线开口向上，对称轴是x＝1．

∴x＝1时，二次函数有最小值．

∴m≠1时，a＋b＋c＜am2＋bm＋c．

即a＋b＜am2＋bm．

故③正确；

④∵AD＝BD，AB＝4，△ABD是等腰直角三角形．

∴AD2＋BD2＝42．

解得，AD2＝8．

设点D坐标为（1，y）．

则[1（1）]2＋y2＝AD2．

解得y＝±2．

∵点D在x轴下方．

∴点D为（1，2）．

∵二次函数的顶点D为（1，2），过点A（1，0）．

设二次函数解析式为y＝a（x1）22．

∴0＝a（11）22．

解得a＝．

故④正确；

故选：D．