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【题目】如图1,点是正方形的中心,点边上一动点,在上截取,连结.初步探究:在点的运动过程中:

(1)猜想线段的关系,并说明理由.

深入探究:

(2)如图2,连结,过点的垂线交于点.交的延长线于点.延长的延长线于点

①直接写出的度数.

②若,请探究的值是否为定值,若是,请求出其值;反之,请说明理由

【答案】1EOFOEO=FO;理由见解析;(2)①;②=2

【解析】

1)由正方形的性质可得BO=CO,∠ABO=ACB=45°,∠BOC=90°,由“SAS”可证△BEO≌△CFO,可得OE=OF,∠BOE=COF,可证EOFO

2)①由等腰直角三角形的性质可得∠EOG的度数;

②由∠EOF=ABF=90°,可得点E,点O,点F,点B四点共圆,可得∠EOB=BFE,通过证明△BOH∽△BIO,可得,即可得结论.

解:(1OE=OFOEOF,连接ACBD

∵点O是正方形ABCD的中心

∴点OACBD的交点

BO=CO,∠ABO=ACB=45°,∠BOC=90°

CF=BE,∠ABO=ACBBO=CO

∴△BEO≌△CFOSAS

OE=OF,∠BOE=COF

∵∠COF+BOF=90°,

∴∠BOE+BOF=90°

∴∠EOF=90°,

EOFO.

2


①∵OE=OFOEOF

∴△EOF是等腰直角三角形,OGEF

∴∠EOG=45°

BHBI的值是定值,

理由如下:

如图,连接DB

AB=BC=CD=2

BD=2

BO=

∵∠AOB=COB=45°,∠HBE=GBI=90°

∴∠HBO=IBO=135°

∵∠EOF=ABF=90°

∴点E,点O,点F,点B四点共圆

∴∠EOB=BFE

EFOIABHF

∴∠BEF+BFE=90°,∠BEF+EIO=90°

∴∠BFE=BIO

∴∠BOE=BIO,且∠HBO=IBO

∴△BOH∽△BIO

BHBI=BO2=2

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