【题目】如图1,点是正方形的中心,点是边上一动点,在上截取,连结,.初步探究:在点的运动过程中:
(1)猜想线段与的关系,并说明理由.
深入探究:
(2)如图2,连结,过点作的垂线交于点.交的延长线于点.延长交的延长线于点.
①直接写出的度数.
②若,请探究的值是否为定值,若是,请求出其值;反之,请说明理由
【答案】(1)EO⊥FO,EO=FO;理由见解析;(2)①;②=2
【解析】
(1)由正方形的性质可得BO=CO,∠ABO=∠ACB=45°,∠BOC=90°,由“SAS”可证△BEO≌△CFO,可得OE=OF,∠BOE=∠COF,可证EO⊥FO;
(2)①由等腰直角三角形的性质可得∠EOG的度数;
②由∠EOF=∠ABF=90°,可得点E,点O,点F,点B四点共圆,可得∠EOB=∠BFE,通过证明△BOH∽△BIO,可得,即可得结论.
解:(1)OE=OF,OE⊥OF,连接AC,BD,
∵点O是正方形ABCD的中心
∴点O是AC,BD的交点
∴BO=CO,∠ABO=∠ACB=45°,∠BOC=90°
∵CF=BE,∠ABO=∠ACB,BO=CO,
∴△BEO≌△CFO(SAS)
∴OE=OF,∠BOE=∠COF
∵∠COF+∠BOF=90°,
∴∠BOE+∠BOF=90°
∴∠EOF=90°,
∴EO⊥FO.
(2)
①∵OE=OF,OE⊥OF,
∴△EOF是等腰直角三角形,OG⊥EF
∴∠EOG=45°
②BHBI的值是定值,
理由如下:
如图,连接DB,
∵AB=BC=CD=2
∴BD=2,
∴BO=
∵∠AOB=∠COB=45°,∠HBE=∠GBI=90°
∴∠HBO=∠IBO=135°
∵∠EOF=∠ABF=90°
∴点E,点O,点F,点B四点共圆
∴∠EOB=∠BFE,
∵EF⊥OI,AB⊥HF
∴∠BEF+∠BFE=90°,∠BEF+∠EIO=90°
∴∠BFE=∠BIO,
∴∠BOE=∠BIO,且∠HBO=∠IBO
∴△BOH∽△BIO
∴
∴BHBI=BO2=2
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【题目】如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,BE=DF.
(1)求证:AE=CF;
(2)若AB=6,∠COD=60°,求矩形ABCD的面积.
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【题目】在“宏扬传统文化,打造书香校园”活动中,学校计划开展四项活动:“A﹣国学诵读”、“B﹣演讲”、“C﹣课本剧”、“D﹣书法”,要求每位同学必须且只能参加其中一项活动,学校为了了解学生的意愿,随机调查了部分学生,结果统计如下:
(1)如图,希望参加活动C占20%,希望参加活动B占15%,则被调查的总人数为 人,扇形统计图中,希望参加活动D所占圆心角为 度,根据题中信息补全条形统计图.
(2)学校现有800名学生,请根据图中信息,估算全校学生希望参加活动A有多少人?
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【题目】反比例函数y1=(x>0)的图象与一次函数y2=﹣x+b的图象交于A,B两点,其中A(1,2)
(1)求这两个函数解析式;
(2)在y轴上求作一点P,使PA+PB的值最小,并直接写出此时点P的坐标.
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【题目】如图,正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,三角形AEF是等边三角形,连接AC交EF于G,下列结论:①BE=DF,②AG=2GC,③BE+DF=EF,④S△CEF=2S△ABE正确的有_____(只填序号).
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【题目】某商店将进价为8元的商品按每件10元售出,每天可售出200件,现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润,如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件,问应将每件售价定为多少元时,才能使每天利润为640元?
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【题目】已知中,,为边上一点,为上一点,,设,
(1)若,,则__________;__________;若,,则__________;__________;
(2)由此猜想与的关系,并证明.
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【题目】一个点从数轴上的原点开始,先向右移动1个单位长度,再向左移动2个单位长度,再向右移动3个单位长度,再向左移动4个单位长度,……,移动2019次后,该点所对应的数是_____.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1,1),B(4,1),C(3,3).
(1)将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;
(2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2;
(3)判断以O,A1,B为顶点的三角形的形状.(无须说明理由)
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