Question

5．如图，直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，若点B的坐标为（4，6），双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过BC的中点D，与AB交于点E，F为OC边上一点，把△BCF沿直线BF翻折，使点C落在点C′处（C′在矩形OABC内部），且C′E∥BC，则CF的长为$\frac{16-4\sqrt{7}}{3}$．

Answer 1

分析 根据B点坐标及D为BC中点求出D点坐标，将D代入反比例函数解析式，求出k的值，从而求出E的坐标，延长EC′交y轴于G，则EG⊥y轴，设C′（a，3），则C′G=a，C′E=4-a，在Rt△C′ED中根据勾股定理求出a的值，设CF=b，则GF=-b，在Rt△FGC′中由勾股定理求出b的值，进而得出结论．

解答 解：∵B（4，6），D为BC中点，
∴D（2，6），
将D（2，6）代入y=$\frac{k}{x}$（x＞0）得k=12，解析式为y=$\frac{12}{x}$，
∴E（4，3），
延长EC′交y轴于G，则EG⊥y轴，
设C′（a，3），
则C′G=a，C′E=4-a，
在Rt△C′EB中，3²+（4-a）²=4²，
解得a₁=4+$\sqrt{7}$＞4，舍去；a₂=4-$\sqrt{7}$．
设CF=C′F=b，则GF=3-b，
在Rt△FGC′中，（3-b）²+（4-$\sqrt{7}$）²=b²，解得b=$\frac{16-4\sqrt{7}}{3}$，即CF=$\frac{16-4\sqrt{7}}{3}$．
故答案为：$\frac{16-4\sqrt{7}}{3}$．

点评 本题考查了反比例函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、翻折变换、勾股定理等知识，综合性较强，考查全面，值得探究．