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【题目】如图,DABC外接圆上的点,且BD位于AC的两侧,DEAB,垂足为EDE的延长线交此圆于点FBGAD,垂足为GBGDE于点HDCFB的延长线交于点P,且PC=PB

(1)求证:∠BAD=PCB

(2)求证:BGCD

(3)设ABC外接圆的圆心为O,若AB=DHCOD=23°,求∠P的度数.

【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)97°

【解析】

(1)根据邻补角定义和圆内接四边形对角互补、等边对等角即可证出结论.

(2)根据等边对等角得:∠PCB=∠PBC,由圆内接四边形的性质得:∠BAD+∠BCD=180°,从而得:∠BFD=∠PCB=∠PBC,根据平行线的判定得:BC∥DF,可得∠ABC=90°,AC⊙O的直径,从而得:∠ADC=∠AGB=90°,根据同位角相等可得结论;

(3)先证明四边形BCDH是平行四边形,得BC=DH,根据特殊的三角函数值得:∠ACB=60°,最后由PC=PB,得出∠P=180°°=97°

(1)证明:如图1,

PC=PB

∴∠PCB=PBC

∵四边形ABCD内接于圆,

∴∠BAD+BCD=180°,

∵∠BCD+PCB=180°,

∴∠BAD=PCB

(2)证明:由(1)得∠BAD=PCB

∵∠BAD=BFD

∴∠BFD=PCB=PBC

BCDF

DEAB

∴∠DEB=90°,

∴∠ABC=90°,

AC是⊙O的直径,

∵∠ABC=90°,

∴∠ADC=90°,

BGAD

∴∠AGB=90°,

∴∠ADC=AGB

BGCD

(3)解:由(1)得:BCDFBGCD

∴四边形BCDH是平行四边形,

BC=DH

RtABC中,

AB= DH

tanACB==

∴∠ACB=60°,

连接OD

∵∠COD=23°,OD=OC

∴∠OCD=(180°﹣23°)=()°,

∴∠PCB=180°﹣ACBOCD=()°,

PC=PB

∴∠P=180°﹣2×()°=97°.

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