Question

17．已知直线y=-$\frac{4}{3}$x+4与x轴和y轴分别交与A、B两点，另一直线过点A和点C（7，3）．
（1）求直线AC对应的函数关系式；
（2）求证：AB⊥AC；
（3）若点P是直线AC上的一个动点，点Q是x轴上的一个动点，且以P、Q、A为顶点的三角形与△AOB全等，求点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）在y=-$\frac{4}{3}$x+4中，令y=0，则0=-$\frac{4}{3}$x+4，求得A（3，0），设直线AC对应的函数关系式为y=kx+b，解方程组即可得到结论；
（2）在直线ABy=-$\frac{4}{3}$x+4中，得到k₁=-$\frac{4}{3}$，在直线AC$y=\frac{3}{4}x-\frac{9}{4}$中，得到k₂=$\frac{3}{4}$，由于k₁•k₂=-1，即可得到结论；
（3）根据勾股定理得到AB=5，①当∠AQP=90°时，如图1，由全等三角形的性质得到AQ=OB=4，于是得到Q₁（7，0），Q₂（-1，0），②当∠APQ=90°时，如图2，根据全等三角形的性质得到AQ=AB=5，于是得到Q₃（8，0），Q₄（-2，0），③当∠PAQ=90°时，这种情况不存在．

解答 解：（1）在y=-$\frac{4}{3}$x+4中，
令y=0，则0=-$\frac{4}{3}$x+4，
∴x=3，
∴A（3，0），
设直线AC对应的函数关系式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=3k+b}\\{3=7k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=-\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
∴直线AC对应的函数关系式为$y=\frac{3}{4}x-\frac{9}{4}$，

（2）在直线ABy=-$\frac{4}{3}$x+4中，∵k₁=-$\frac{4}{3}$，
在直线AC$y=\frac{3}{4}x-\frac{9}{4}$中，k₂=$\frac{3}{4}$，
∴k₁•k₂=-1，
∴AB⊥AC；

（3）在y=-$\frac{4}{3}$x+4中，
令x=0，则y=4，
∴OA=3，OB=4，由勾股定理得AB=5，
①当∠AQP=90°时，如图1，∵△AOB≌△AQP，
∴AQ=OB=4，
∴Q₁（7，0），Q₂（-1，0），
②当∠APQ=90°时，如图2，∵△AOB≌△AQP，
∴AQ=AB=5，
∴Q₃（8，0），Q₄（-2，0）．
③当∠PAQ=90°时，这种情况不存在，
综上所述：点Q的坐标为：（7，0）（8，0）（-1，0）（-2，0）．

点评 本题考查了一次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，勾股定理的应用和全等三角形的性质等知识，分类讨论是解题关键，以防遗漏．