已知Rt△ABC中.AC=BC.∠C=90°.D为AB中点.∠EDF=90°.且∠EDF绕D点旋转.它的两边分别交AC.CB于E.F．(1)当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时(图1).求证:${S {△DEF}}+{S {△CEF}}=\frac{1}{2}{S {△ABC}}$．(2)当∠EDF绕D点旋转到DE与AC不垂直．①当两边与AC.BC相交时..上述结论是否还会成� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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3．已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB中点，∠EDF=90°，且∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．
（1）当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时（图1），求证：${S_{△DEF}}+{S_{△CEF}}=\frac{1}{2}{S_{△ABC}}$．
（2）当∠EDF绕D点旋转到DE与AC不垂直．
①当两边与AC、BC相交时，（如图2），上述结论是否还会成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．
②当两边与AC、BC的延长线相交时，（如图3），上述结论是否还会成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明S_△DEF、S_△CEF、S_△ABC之间的关系．（不需证明，直接回答即可）

分析（1）当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形，边长是AC的一半，即可得出结论；
（2）成立；先证明△CDE≌△BDF，即可得出结论；
（3）不成立；同（2）得：△DEC≌△DBF，得出S_△DEF=S_{五边形DBFEC}=S_△CFE+S_△DBC=S_△CFE+$\frac{1}{2}$S_△ABC．

解答解：（1）当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形；设△ABC的边长AC=BC=a，则正方形CEDF的边长为$\frac{1}{2}$a
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}{a^2}$，正方形CEDF的面积${S_{CEDF}}={（\frac{1}{2}a）^2}=\frac{1}{4}{a^2}$
即${S_{△DEF}}+{S_{△CEF}}=\frac{1}{2}{S_{△ABC}}$；
（2）上述结论成立；理由如下：连接CD；如图2所示：
∵AC=BC，∠ACB=90°，D为AB中点，
∴∠B=45°，∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，CD⊥AB，CD=$\frac{1}{2}$AB=BD，
∴∠DCE=∠B，∠CDB=90°，
∵∠EDF=90°，
∴∠1=∠2，
在△CDE和△BDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}&{\;}\\{CD=BD}&{\;}\\{∠DCE=∠B}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴S_△DEF+S_△CEF=S_△ADE+S_△BDF=$\frac{1}{2}$S_△ABC；
（3）不成立；${S_{△DEF}}-{S_{△CEF}}=\frac{1}{2}{S_{△ABC}}$；理由如下：连接CD，如图3所示：
同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE=∠DBF=135°
∴S_△DEF=S_{五边形DBFEC}，
=S_△CFE+S_△DBC，
=S_△CFE+$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴S_△DEF-S_△CFE=$\frac{1}{2}$S_△ABC．
∴S_△DEF、S_△CEF、S_△ABC的关系是：S_△DEF-S_△CEF=$\frac{1}{2}$S_△ABC．

点评本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、图形面积的求法；证明三角形全等是解决问题的关键．

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A．

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B．

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C．

10米

D．

10米或8米

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B．

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D．

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