Question

【题目】如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE=BF．

（1）求证：四边形BDEF为平行四边形；
（2）当∠C=45°，BD=2时，求D，F两点间的距离．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，

∴∠ABC=∠C，

∵EG∥BC，DE∥AC，

∴∠AEG=∠ABC=∠C，四边形CDEG是平行四边形，

∴∠DEG=∠C，

∵BE=BF，

∴∠BFE=∠BEF=∠AEG=∠ABC，

∴∠F=∠DEG，

∴BF∥DE，

∴四边形BDEF为平行四边形；

（2）解：∵∠C=45°，

∴∠ABC=∠BFE=∠BEF=45°，

∴△BDE、△BEF是等腰直角三角形，

∴BF=BE= BD= ，

作FM⊥BD于M，连接DF，如图所示：

则△BFM是等腰直角三角形，

∴FM=BM= BF=1，

∴DM=3，

在Rt△DFM中，由勾股定理得：DF= = ，

即D，F两点间的距离为 ．

【解析】（1）要证四边形BDEF为平行四边形由已知EG∥BC，须证BF∥DE，可利用等腰三角形的性质先证四边形CDEG是平行四边形，得出∠DEG=∠C，再通过转化证出BF∥DE；（2）要求DF距离须把DF放在直角三角形中，因此需过F作BD的垂线构造直角三角形，可证出△BDE、△BEF是等腰直角三角形，由BD求出DE，进而求出BF、MF，由勾股定理求出DF.
【考点精析】本题主要考查了等腰三角形的性质和平行四边形的判定与性质的相关知识点，需要掌握等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积才能正确解答此题．