【题目】如图,以BC为底边的等腰△ABC,点D,E,G分别在BC,AB,AC上,且EG∥BC,DE∥AC,延长GE至点F,使得BE=BF.
(1)求证:四边形BDEF为平行四边形;
(2)当∠C=45°,BD=2时,求D,F两点间的距离.
【答案】
(1)证明:∵△ABC是等腰三角形,
∴∠ABC=∠C,
∵EG∥BC,DE∥AC,
∴∠AEG=∠ABC=∠C,四边形CDEG是平行四边形,
∴∠DEG=∠C,
∵BE=BF,
∴∠BFE=∠BEF=∠AEG=∠ABC,
∴∠F=∠DEG,
∴BF∥DE,
∴四边形BDEF为平行四边形;
(2)解:∵∠C=45°,
∴∠ABC=∠BFE=∠BEF=45°,
∴△BDE、△BEF是等腰直角三角形,
∴BF=BE= BD=
,
作FM⊥BD于M,连接DF,如图所示:
则△BFM是等腰直角三角形,
∴FM=BM= BF=1,
∴DM=3,
在Rt△DFM中,由勾股定理得:DF= =
,
即D,F两点间的距离为 .
【解析】(1)要证四边形BDEF为平行四边形由已知EG∥BC,须证BF∥DE,可利用等腰三角形的性质先证四边形CDEG是平行四边形,得出∠DEG=∠C,再通过转化证出BF∥DE;(2)要求DF距离须把DF放在直角三角形中,因此需过F作BD的垂线构造直角三角形,可证出△BDE、△BEF是等腰直角三角形,由BD求出DE,进而求出BF、MF,由勾股定理求出DF.
【考点精析】本题主要考查了等腰三角形的性质和平行四边形的判定与性质的相关知识点,需要掌握等腰三角形的两个底角相等(简称:等边对等角);若一直线过平行四边形两对角线的交点,则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点,并且这两条直线二等分此平行四边形的面积才能正确解答此题.
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【题目】如图1,点E为矩形ABCD边AD上一点,点P,点Q同时从点B出发,点P沿BE→ED→DC运动到点C停止,点Q沿BC运动到点C停止,它们的运动速度都是1cm/s,设P、Q出发t秒时,△BPQ的面积为y(cm2),已知y与t的函数关系的图象如图2(曲线OM为抛物线的一部分),则下列结论:
①AD=BE=5cm;②当0<t≤5时,y= t2;③直线NH的解析式为y=﹣
t+27;④若△ABE与△QBP相似,则t=
秒,
其中正确结论的个数为( )
A.4
B.3
C.2
D.1
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【题目】为了推动“龙江经济带”建设,我省某蔬菜企业决定通过加大种植面积、增加种植种类,促进经济发展.2017年春,预计种植西红柿、马铃薯、青椒共100公顷(三种蔬菜的种植面积均为整数),青椒的种植面积是西红柿种植面积的2倍,经预算,种植西红柿的利润可达1万元/公顷,青椒1.5万元/公顷,马铃薯2万元/公顷,设种植西红柿x公顷,总利润为y万元.
(1)求总利润y(万元)与种植西红柿的面积x(公顷)之间的关系式.
(2)若预计总利润不低于180万元,西红柿的种植面积不低于8公顷,有多少种种植方案?
(3)在(2)的前提下,该企业决定投资不超过获得最大利润的 在冬季同时建造A、B两种类型的温室大棚,开辟新的经济增长点,经测算,投资A种类型的大棚5万元/个,B种类型的大棚8万元/个,请直接写出有哪几种建造方案?
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【题目】如图,AE、BF、DC是直线,B在直线AC上,E在直线DF上,∠1=∠2,∠A=∠F.
求证:∠C=∠D.
证明:因为∠1=∠2(已知),∠1=∠3( )
得∠2=∠3( )
所以AE//_______( )
得∠4=∠F( )
因为__________(已知)
得∠4=∠A
所以______//_______( )
所以∠C=∠D( )
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【题目】在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B、C重合),以AD为一边在AD的右侧作△ADE,使AD=AE,∠DAE=∠BAC,连接CE.
(1)如图一,若△ABC是等边三角形,且AB=AC=2,点D在线段BC上,
①求证:∠BCE+∠BAC=180°;
②当四边形ADCE的周长取最小值时,求BD的长.
(2)若∠BAC60° ,当点D在射线BC上移动,则∠BCE和∠BAC 之间有怎样的数量关系?并说明理由.
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【题目】(1)已知4m=a,8n=b,用含a,b的式子表示下列代数式: ①求:22m+3n的值,
②求:24m﹣6n的值;
(2)已知2×8x×16=223,求x的值.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,如图,已知Rt△DOE,∠DOE=90°,OD=3,点D在y轴上,点E在x轴上,在△ABC中,点A,C在x轴上,AC=5.∠ACB+∠ODE=180°,∠ABC=∠OED,BC=DE.按下列要求画图(保留作图痕迹):
(1)将△ODE绕O点按逆时针方向旋转90°得到△OMN(其中点D的对应点为点M,点E的对应点为点N),画出△OMN;
(2)将△ABC沿x轴向右平移得到△A′B′C′(其中点A,B,C的对应点分别为点A′,B′,C′),使得B′C′与(1)中的△OMN的边NM重合;
(3)求OE的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,边长不等的正方形依次排列,每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上,从左向右依次记为A1、A2、A3、…、An,已知第1个正方形中的一个顶点A1的坐标为(1,1),则点A2019的纵坐标为( )
A. 2019 B. 2018 C. 22018 D. 22019
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【题目】如图,在Rt△ABC 中,AB=AC,D、E是斜边BC上两点,且∠DAE=45°,将△ABE绕点顺时针旋转90
后,得到△ACF,连接DF.下列结论中:①∠DAF=45° ②△
≌△
③AD平分∠EDF ④
;正确的有______________(填序号)
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