Question

12．如图，已知二次函数y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x-3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，顶点为D，作直线CD，点P是抛物线对称轴上的一点，若以P为圆心的圆经过A，B两点，并且和直线CD相切，则点P的坐标为（4，0）或（4，$\frac{75}{8}$）．

Answer 1

分析 利用抛物线与坐标的交点问题求出A、B、C点的坐标，再把抛物线解析式配成顶点式得到抛物线的对称轴方程和D点坐标，则可利用待定系数法求出CD的解析式，过P点作PH⊥直线CD于H，连结PB，CD交x轴于E点，抛物线的对称轴交x轴于F点，如图，易得F和E点坐标，设P（4，t），于是根据切线性质得到PH=PB，然后证明Rt△DPH∽Rt△DEF，通过相似比建立t的方程，再方程求出t即可得到P点坐标．

解答 解：当y=0时，$\frac{1}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x-3=0，解得x₁=-1，x₂=9，则A（-1，0），B（9，0），
当x=0时，y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x-3=-3，则C（0，-3），
∵y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x-3=$\frac{1}{3}$（x-4）²-$\frac{25}{3}$，
∴抛物线的对称轴为直线x=4，D点坐标为（4，-$\frac{25}{3}$），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
把C（0，-3），D（4，-$\frac{25}{3}$）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=-3}\\{4k+b=-\frac{25}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线CD的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x-3，
过P点作PH⊥直线CD于H，连结PB，CD交x轴于E点，抛物线的对称轴交x轴于F点，如图，则F（4，0），E（-$\frac{9}{4}$，0），
∴EF=4-（-$\frac{9}{4}$）=$\frac{25}{4}$，FB=$\frac{25}{3}$，
∴DE=$\sqrt{F{D}^{2}+E{F}^{2}}$=$\frac{125}{12}$，
设P（4，t），则PD=t+$\frac{25}{3}$，PB=$\sqrt{（4-9）^{2}+{t}^{2}}$=$\sqrt{25+{t}^{2}}$，
∵以P为圆心的圆经过A，B两点，并且和直线CD相切，
∴PH=PB=$\sqrt{25+{t}^{2}}$，
∵∠PDH=∠EDF，
∴Rt△DPH∽Rt△DEF，
∴$\frac{PH}{EF}$=$\frac{PD}{ED}$，即$\frac{\sqrt{25+{t}^{2}}}{\frac{25}{4}}$=$\frac{t+\frac{25}{3}}{\frac{25}{12}}$，
整理得8t²-75t=0，解得t₁=0，t₂=$\frac{75}{8}$，
∴P点坐标为（4，0）或（4，$\frac{75}{8}$）．
故答案为（4，0）或（4，$\frac{75}{8}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和切线的性质；会求抛物线和一次函数图象与坐标轴的交点坐标；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会应用相似比建立线段之间的关系．