Question

2．（1）已知函数y=2x+1，-1≤x≤1，求函数值的最大值．
（2）已知关于x的函数y=$\frac{m}{x}$（m≠0），试求1≤x≤10时函数值的最小值．
（3）己知直线m：y=2kx-2和抛物线y=（k²-1）x²-1在y轴左边交于A、B两点，直线l过点P（-2、0）和线段AB的中点M，求直线1与y轴的交点纵坐标b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）只需运用一次函数的增减性即可解决问题；
（2）由于m的符号不确定，需分m＞0和m＜0两种情况讨论，然后只需运用反比例函数的增减性即可解决问题；
（3）可运用公式法求出点A、B的坐标（用k的代数式表示），从而得到线段AB中点M的坐标，然后运用待定系数法求出直线l的解析式，即可得到b与k的函数关系，然后只需求出k的取值范围，并运用二次函数及反比例函数的增减性就可解决问题．

解答 解：（1）∵2＞0，∴y随着x的增大而增大，
∴当x=1时，y取到最大值，最大值为3；

（2）①当m＞0且x＞0时，y随着x的增大而减小，
则当x=10时，y取到最小值，最小值为$\frac{m}{10}$；
②m＜0且x＞0时，y随着x的增大而增大，
则当x=1时，y取到最小值，最小值为m；

（3）设点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则
x₁、x₂是方程2kx-2=（k²-1）x²-1即（k²-1）x²-2kx+1=0，
解得x₁=$\frac{1}{k-1}$，x₂=$\frac{1}{k+1}$，
∴x₁+x₂=$\frac{2k}{{k}^{2}-1}$，y₁+y₂=2kx₁-2+2kx₂-2=2k（x₁+x₂）-4=$\frac{4}{{k}^{2}-1}$．
∵点M是AB的中点，
∴点M的坐标为（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）即（$\frac{k}{{k}^{2}-1}$，$\frac{2}{{k}^{2}-1}$）．
设直线PM的解析式为y=mx+n，则有
$\left\{\begin{array}{l}{-2m+n=0}\\{m•\frac{k}{{k}^{2}-1}+n=\frac{2}{{k}^{2}-1}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{2}{2{k}^{2}+k-2}}\\{n=\frac{4}{2{k}^{2}+k-2}}\end{array}\right.$．
∴直线1与y轴的交点纵坐标b=n=$\frac{4}{2{k}^{2}+k-2}$．
∵点A、B在y轴的左侧，
∴x₁=$\frac{1}{k-1}$＜0且x₂=$\frac{1}{k+1}$＜0，
解得k＜-1．
设t=2k²+k-1，则有
b=$\frac{4}{t}$，t=2（k+$\frac{1}{4}$）²-$\frac{17}{8}$，
∵2＞0，∴当k＜-1时t随着k的增大而减小，
∴t＞2（-1+$\frac{1}{4}$）²-$\frac{17}{8}$即t＞-1，
对于b=$\frac{4}{t}$，
①当-1＜t＜0时，b＜-4；
②当t＞0时，b＞0，
∴直线1与y轴的交点纵坐标b的取值范围是b＜-4或b＞0．

点评 本题主要考查了一次函数的增减性、反比例函数的增减性、二次函数的增减性、直线与抛物线的交点、运用待定系数法求一次函数的解析式、线段的中点坐标公式等知识，运用分类讨论是解决第（2）小题的关键，得到b与k的函数关系并综合运用二次函数及反比例函数的增减性，是解决第（3）小题的关键．