Question

14．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，AB=1，DC=2，BC=3，点P是线段BC上一动点（不与点B、C重合），若△APD是等腰三角形，则CP的长是1或$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 过A作AM⊥CD于M，根据勾股定理求出AD，分为三种情况：AD=DP或AD=AP或AP=DP，根据勾股定理求出CP，再逐个判断即可．

解答 解：如图：
过A作AM⊥CD于M，
∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠AMD=90°，∠B=∠C=∠AMC=90°，
∴四边形ABCM是矩形，
∴CM=AB=1，AM=BC=3，
∴DM=2-1=1，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵△APD是等腰三角形，
∴分为三种情况：
①AP=DP，设CP=x，则BP=3-x，
在Rt△ABP和Rt△DCP中，由勾股定理得：AB²+BP²=CP²+DC²，
即1²+（3-x）²=x²+2²，
解得：x=1，
CP=1；
②AD=DP=$\sqrt{10}$，
CP=$\sqrt{D{P}^{2}-D{C}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{10}）^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{6}$；
③AD=AP=$\sqrt{10}$，
BP=$\sqrt{A{P}^{2}-B{P}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{10}）^{2}-{1}^{2}}$=3，
CP=3-3=0，此时P和C重合，不符合题意舍去；
故答案为：1或$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质的应用，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．