分析 （1）只需求出点A、C的坐标，然后运用待定系数法就可求出抛物线的解析式，只需求出OA、OB、AB，然后运用三角函数的定义就可求出cos∠BAO的值；
（2）可设点D的坐标为（m，0），从而可求出EP、AE（用m的代数式表示），易证△PFE∽△ADE，只需运用相似三角形的性质就可解决问题；
（3）设点A1的坐标为（p，q），根据旋转的性质可得点D1（p，q+5），点E1（p+$\frac{5}{2}$，q+5），显然点A1、D1不可能同时在抛物线上，只需分D1、E1在抛物线上和A1、E1在抛物线上两种情况讨论，就可解决问题．
解答 解：（1）∵点A、点B分别是直线y=-$\frac{1}{2}$x+3与x釉、y轴的交点，
∴点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，3）．
∵点C在直线y=-$\frac{1}{2}$x+3上，点C的横坐标为-4，
∴点C的坐标为（-4，5）．
∵点A、点C在抛物线y=$\frac{1}{4}$x2+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9+6b+c=0}\\{4-4b+c=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴二次函数的解析式为y=$\frac{1}{4}$x2-x-3．
在Rt△AOB中，
∵A（6，0），B（0，3），
∴OA=6，OB=3，
∴AB=3$\sqrt{5}$，cos∠BAO=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{6}{3\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（2）设点D的坐标为（m，0），则有
AD=6-m，P（m，$\frac{1}{4}$m2-m-3），E（m，-$\frac{1}{2}$m+3），
∴PE=（-$\frac{1}{2}$m+3）-（$\frac{1}{4}$m2-m-3）=-$\frac{1}{4}$m2+$\frac{1}{2}$m+6，
AE=$\frac{AD}{cos∠BAO}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$（6-m）．
∵∠PFE=∠ADE=90°，∠PEF=∠AED，
∴△PFE∽△ADE，
∴$\frac{{C}_{△PFE}}{{C}_{△ADE}}$=$\frac{PE}{AE}$，即
∴$\frac{\sqrt{5}}{2}$=$\frac{-\frac{1}{4}{m}^{2}+\frac{1}{2}m+6}{\frac{\sqrt{5}}{2}（6-m）}$，
整理可得m2-7m+6=0，
解得m1=1，m2=6（舍去），
∴D（1，0），E（1，$\frac{5}{2}$）
∴AD=5，DE=$\frac{5}{2}$，AE=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，
∴C△ADE=$\frac{15+5\sqrt{5}}{2}$，
∴C△PEF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$C△ADE=$\frac{15\sqrt{5}+25}{4}$；
（3）设点A1的坐标为（p，q），
∵△A1D1E1是由△ADE绕平面内一点M按顺时针方向旋转90°所得，
∴D1E1⊥y轴，A1D1⊥x轴，D1E1=DE=$\frac{5}{2}$，A1D1=AD=5．
∴点D1的坐标为（p，q+5），点E1的坐标为（p+$\frac{5}{2}$，q+5）．
①当D1、E1在抛物线上时，
D1与E1关于对称轴x=-$\frac{-1}{2×\frac{1}{4}}$=2对称，
则有2-p=p+$\frac{5}{2}$-2，
解得p=$\frac{3}{4}$，
∴q+5=$\frac{1}{4}$p2-p-3=-$\frac{231}{64}$，
∴q=-$\frac{551}{64}$，
∴点A1的坐标为（$\frac{3}{4}$，-$\frac{551}{64}$）；
②当A1、E1在抛物线上时，
则有$\left\{\begin{array}{l}{q=\frac{1}{4}{p}^{2}-p-3}\\{q+5=\frac{1}{4}（p+\frac{5}{2}）^{2}-（p+\frac{5}{2}）-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{p=\frac{19}{4}}\\{q=-\frac{135}{64}}\end{array}\right.$，
∴点A1的坐标为（$\frac{19}{4}$，-$\frac{135}{64}$）．
综上所述：点A1的坐标为（$\frac{3}{4}$，-$\frac{551}{64}$）或（$\frac{19}{4}$，-$\frac{135}{64}$）．
点评 本题主要考查了运用待定系数法求二次函数的解析式、抛物线上点的坐标特征、直线上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、解方程组、三角函数的定义、勾股定理等知识，运用相似三角形周长比等于相似比是解决第（2）小题的关键，根据旋转的性质得到A1、D1、E1坐标之间的关系，是解决第（3）小题的关键．
科目：初中数学 来源： 题型：解答题
如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，D在BC上且∠BAD=15°，E是AD上的一点，现以CE为直角边，C为直角顶点在CE的下方作等腰直角三角形ECF，连接BF．查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：解答题
根据学习函数的经验，小明对函数y=x2+$\frac{1}{x}$的图象与性质进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完成：| x | … | -3 | -2 | -1 | -$\frac{1}{2}$ | -$\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{2}$ | 1 | 2 | 3 | … |
| y | … | $\frac{26}{3}$ | $\frac{7}{2}$ | 0 | -$\frac{7}{4}$ | -$\frac{26}{9}$ | $\frac{28}{9}$ | $\frac{9}{4}$ | 2 | $\frac{9}{2}$ | m | … |
查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：填空题
如图，已知二次函数y=$\frac{1}{3}$x2-$\frac{8}{3}$x-3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，顶点为D，作直线CD，点P是抛物线对称轴上的一点，若以P为圆心的圆经过A，B两点，并且和直线CD相切，则点P的坐标为（4，0）或（4，$\frac{75}{8}$）．查看答案和解析>>
科目：初中数学 来源： 题型：选择题
成都市二环路高架环线快速公交已开通，小彬从家步行到公交车站台，等公交车去学校．图中的折线表示小彬的行程s （千米）与所花时间t （分钟）之间的函数关系，下列说法错误的是（ ）| A． | 他离家8千米，共用了30分钟 | B． | 他等公交车时间为6分钟 | ||
| C． | 他步行的速度是100米/分钟 | D． | 公交车的速度是350米/分钟 |
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com
如图，在△ABC中，D是BC上一点，且AB=BD=3CD，若cos∠DAC=$\frac{7}{8}$，AD=6，则AC=8．