Question

11．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，D在BC上且∠BAD=15°，E是AD上的一点，现以CE为直角边，C为直角顶点在CE的下方作等腰直角三角形ECF，连接BF．
（1）请问当E在AD上运动时（不与A、D重合），∠ABF的大小是否发生改变？若不改变，请求出∠ABF的度数；若要改变，请说出它是如何改变的；
（2）若AB=6$\sqrt{2}$，点G为射线BF上的一点，当CG=5时，求BG的长．

Answer 1

分析 （1）注意到三角形CFB与三角形CEA全等，从而∠FBC=∠CAE，由条件可知∠CAE=30°，则∠ABF显然为定值；
（2）由于题目并没说G点在F点的左侧还是右侧，因此有两种情况．由于∠CBF=30°，故作CM垂直BF于M，则CM、BM可求，CG已知，由勾股定理可求出MG，从而可轻松算出答案．

解答 解：不变，∠ABF=75°．
证明：如图1，

∵∠ACB=∠ECF=90°，
∴∠ACE=∠BCF，
∵AC=CB，CE=CF，
∴△ACE≌BCF，
∴∠CAE=∠CBF，
∵∠BAD=15°，∠CAB=∠ABC=45°，
∴∠CBF=∠CAE=30°，
∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=75°．
（2）作CM⊥BF，垂足为M，如图2，

∵AB=6$\sqrt{2}$，
∴BC=AC=6，
∴CM=4，BM=4$\sqrt{3}$，
∵CG₁=5，
∴MG₁=4，
∴BG₁=4+4$\sqrt{3}$，
同理可得：BG₂=4$\sqrt{3}$-4．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及其应用、勾股定理的应用、含特殊角的直角三角形的性质，难度中等．在求解线段长度时，“将特殊角放入直角三角形中”是基本原则，要引起重视，另外，注意本题第（2）问有两种情况，不要漏解．